ベイズの定理 ④ 練習問題とまとめ

ここからは、型を試す練習問題です。「〜のとき」に線を引いて分母を決め、枝をかけて割るだけです。

問題1：工場でA・B2台の機械が製品を作っています。全体の60%がA機械、40%がB機械製です。

A機械の不良率は2%、B機械の不良率は5%です。

抜き取った製品が不良品でした。この不良品がB機械で作られた確率は？

まず1,000個で考えます。分母は「不良品だったとき」です。

A機械の不良品：1,000×0.60×0.02＝12個。

B機械の不良品：1,000×0.40×0.05＝20個。

不良品の合計（分母）は、12＋20＝32個です。

欲しいのは「B機械の不良品」の枝なので、20÷32＝5/8＝62.5%。

B機械の生産割合は40%だったのに、不良品の中では62.5%まで跳ね上がっています。

不良率の高いB機械が、不良品の中で過剰に代表されているからです。

問題2：ある病気の検査で、有病率（病気の人の割合）は2%です。

感度（病気の人が陽性になる確率）は90%、偽陽性率（病気でない人が陽性になる確率）は5%です。

陽性だったとき、その人が実際に病気である確率を求めてください。

「陽性だったとき」が分母です。

病気：2×90＝180。病気でない：98×5＝490。

陽性の合計（分母）は、180＋490＝670です。

欲しいのは「病気」の枝なので、180÷670＝18/67≒26.9%。

感度が90%もあるのに、有病率が低いと偽陽性の枝が本物を上回り、答えは3割未満になります。

本文の例題とまったく同じ、ベイズの「直感に反する」代表パターンです。ほかの練習問題は本編でも解けます。

ここまでの4話をまとめましょう。

ベイズの定理は、「結果から原因を推測する」確率の公式でした。

具体例は、割合より人数で考えるのが圧倒的にわかりやすいのでしたね。

全確率の定理は、P(B)＝P(A)×P(B|A)＋P(A^c)×P(B|A^c)。Bが起こる経路をすべて足す式でした。

ベイズの定理の式は、P(A|B)＝P(A)×P(B|A)÷P(B)でした。

事前確率が低いと、精度の高い検査でも、陽性のときに病気である確率は思ったより低くなります。

試験では「〜のとき」に線を引き、枝をかけて、欲しい枝で割る型を使えば速く解けます。

応用範囲は、医療診断、スパムフィルター、機械学習など幅広くあります。

次は『独立性の注意と総復習』です。