ベイズの定理

さえ

ベイズの定理は確率の山場！　でも安心して、具体例から一歩ずつ進めば必ず理解できる！　最初に直感で答えを予想してから計算するのがおすすめだよ。直感とのギャップこそが、ベイズの定理を体に刻みつけてくれるよ！

1. まずは問題を解いてみよう

ベイズの定理を理解する一番の近道は、「実際に問題を解いてみる」ことです。次の問題を、一緒に最後まで計算してみましょう。

例題：病気の検査

まずは直感で答えてみる

計算を始める前に、直感で答えを予想してみてください。「検査の精度が90%なら、陽性が出たら90%くらい病気じゃないの？」と感じる方が多いと思います。ですが、実際の答えは大きく異なります。

実際の答えは、約15%です。

えっ、と思いましたよね。検査の精度が90%もあるのに、陽性が出ても病気である確率は15%しかない。多くの人にとって直感に反する結果ですが、これがベイズの定理が示す現実です。なぜそうなるのか、これから一緒に計算で確認していきましょう。

2. 100人で考えてみる

確率を「割合」のまま考えると混乱しやすいので、具体的な人数に置き換えます。100人ではちょっと少ないので、10,000人を仮定して計算しましょう。

10,000人を病気/病気でないに分ける

10,000人がいると仮定します。

• 病気の人は1%なので、100人
• 病気でない人は99%なので、9,900人

それぞれの検査結果を考える

この100人と9,900人が検査を受けたとき、何人が陽性となるかを計算します。

病気の100人のうち、陽性になる人：90%が陽性なので、100 × 0.90 = 90人。残り10人は陰性（誤って陰性と判定）。

病気でない9,900人のうち、陽性になる人：5%が誤って陽性となるので、9,900 × 0.05 = 495人。残り9,405人は正しく陰性となります。

表にまとめる

ここまでを表にしてみましょう。

3級では触れられませんが、この表の中で「運の悪い人」を見つけてみてください。できるかぎり、実務でもこれをなくさなければいけません。そう、病気であって、陰性の人＝偽陰性の人です。私たちはここに入ってしまうことを回避しなければいけません。

樹形図でも見てみる

同じ計算を、ツリー（樹形図）でも見てみましょう。視覚的に追えるとイメージが固まります。

3. 答えを求める

ここまで来れば、答えはあと一歩です。

陽性者は全部で何人？

表とツリーから、陽性となった人は次の2グループの合計です。

• 病気で陽性：90人
• 病気でないのに陽性（誤判定）：495人
• 陽性者の合計：90 + 495 = 585人

陽性者のうち、本当に病気の人は？

陽性者585人のうち、本当に病気なのは90人だけ。残り495人は誤判定です。だから、

P(病気 | 陽性) = 90 ÷ 585 ≒ 0.1538 ≒ 15.4%

予想より低かったですよね。検査の精度が90%もあるのに、陽性が出ても病気である確率は約15%。誤判定の495人が、正解の90人より圧倒的に多いからです。

なぜこんなに低いのか

理由は、「もともと病気の人がとても少ない」からです。100人に1人しか病気でないなら、10,000人中の病気は100人。一方、病気でない9,900人のたった5%でも、人数にすると495人にもなる。母数が大きいと、誤判定の絶対数も大きくなる。これがベイズ計算の核心です。

この性質は稀な病気の検査では特に顕著です。「病気である確率がもともと低いとき、陽性が出ても誤判定の可能性のほうが高い」というのは、医療現場でも重要な知見で、なぜ「陽性が出たら追加検査をする」のかの根拠になっています。

※ 余談ですが、新型コロナウイルスの流行時は、体調の異変（感染したかもしれないという自覚症状）を感じてから検査を受ける人が多く、この例題のように「集団全体から無作為に検査する」状況とは違っていました。検査を受ける時点ですでに病気である確率（事前確率）が高くなっていたぶん、実際のP(A|B)はこの例題より高かったはずだ、と経験則から思っています。もうウイルスの世界的パンデミックが起きないことを祈りつつ、健康診断は毎年欠かさず受けましょう。

4. 計算を式で振り返る

ここまでの計算を、確率の式で振り返ってみましょう。最初は「具体的な人数で計算した」だけでしたが、それを記号で書くと、ベイズの定理が姿を現します。

使った確率の整理

事象を次のように決めます。

• 事象A = 病気である
• 事象A^c = 病気でない（Aの余事象）
• 事象B = 検査が陽性

問題文から、わかっている確率は次の3つでした。

• P(A) = 0.01（病気である事前確率）
• P(B|A) = 0.90（病気のときに陽性となる確率）
• P(B|A^c) = 0.05（病気でないのに陽性となる確率）

陽性者の合計を式で書く

陽性者は「病気で陽性」と「病気でないが陽性」の合計でした。これを確率の言葉で書くと：

P(B) = P(A) × P(B|A) + P(A^c) × P(B|A^c)

実際の値で計算してみると：

P(B) = 0.01 × 0.90 + 0.99 × 0.05 = 0.009 + 0.0495 = 0.0585

これは10,000人中585人が陽性、つまり5.85%という先ほどの計算と一致しますね。

これが全確率の定理

この式 P(B) = P(A) × P(B|A) + P(A^c) × P(B|A^c) こそが、全確率の定理と呼ばれる定理です。

意味は素朴です。「Bが起こる確率は、Bが起こりうるすべての経路を足したもの」という意味です。ツリーで言えば、「陽性につながる枝」をすべて足した値、ということ。さきほど人数で「90人 + 495人 = 585人」と計算したのと、まったく同じことを式で表現しているにすぎません。

求めたい答えを式にする

私たちが求めたかったのは「陽性のとき本当に病気の確率」、つまり P(A|B) です。条件付確率の定義から、

P(A|B) = P(A∩B) ÷ P(B)

ここで分子の P(A∩B) は「病気かつ陽性」の確率。これは乗法定理から P(A) × P(B|A) で表せます。分母の P(B) は今出てきた全確率の定理で計算できます。

これがベイズの定理

これがベイズの定理です。あの直感に反する答え「陽性でも病気の確率は約15%」は、この式から出てきます。実際に値を入れて計算してみましょう。

P(A|B) = 0.01 × 0.90 ÷ [0.01 × 0.90 + 0.99 × 0.05]
= 0.009 ÷ 0.0585
= 0.1538…（≒ 15.4%）

ぴったり一致します！　人数で計算したものと、式で計算したものが同じ答えになるのは、式が人数の計算を正確に表現する道具にすぎないからなんですね。

5. ベイズの定理が大切な理由

ベイズの定理が画期的なのは、「結果から原因を推測する」ことができる点です。条件付確率と一見似ていますが、向きが違います。

「向き」を入れ替える定理

• P(B|A)：原因 → 結果。「病気のとき(A)に陽性(B)になる確率」 ─ ふつうにわかる情報
• P(A|B)：結果 → 原因。「陽性(B)となったとき本当に病気(A)である確率」 ─ 本当に知りたい情報

多くの場面で、私たちが本当に知りたいのはP(A|B)のほう。でも、データとして手に入るのはP(B|A)であることが多いんです。「病気の人を集めて検査の精度を測る」ことはできても、「陽性者を集めてそのうち病気の割合を出す」のは、検査の精度が事前にわかっていないと難しい。

ベイズの定理は、P(B|A)からP(A|B)を計算するための公式。だからこそ、現代のデータサイエンスでこんなに大切にされているんです。

身近な活用例

• 医療診断：「症状が出ているとき、特定の病気である確率」
• スパムフィルター：「メールにこの単語が含まれているとき、それがスパムである確率」
• 検索エンジン：「ユーザーがこのクエリを入力したとき、何を求めている確率」
• 機械学習：「このデータが観測されたとき、どのモデルが正しい確率」

どれも「結果から原因を推測する」場面ばかりです。ベイズの定理を学ぶことは、現代社会で意思決定する力を養うことにもつながります。

6. 試験ではこう解く：「〜のとき」が分母

統計検定3級は電卓が使える試験です。ベイズの問題は解き方の型がいつも同じなので、その型を覚えてしまえば、本番でもあわてずに解けます。さっと解けるように、ここで練習していきましょう。

カギになるのは、問題文の「〜のとき」「〜のうち」という言葉です。ここが分母（＝いま考えている集団）を教えてくれます。まずこの言葉に線を引きましょう。

やってみる：喫煙者と病気

まず、「病気にかかったとき」に線を引きます。これが分母、つまり「病気の人ぜんぶ」が考える集団です。次に、枝を「条件付き確率 × 事前確率」でつくります。ここで％はそのまま整数でかけてしまうのがコツです。

• 喫煙者で病気：0.3 × 20 ＝ 6
• 非喫煙者で病気：0.1 × 80 ＝ 8
• 病気の人の合計（分母）：6 ＋ 8 ＝ 14

欲しいのは「喫煙者で病気」の枝なので、

6 ÷ 14 ＝ 3/7 ≒ 42.9%

0.003 や 0.002 のような細かい小数をかけなくても、比が同じなら答えは変わりません。「6 対 8」をつくって割るだけです。枝が何本に増えても（3ラインの工場、3種類の天気など）、やることは「全部の枝を足して、欲しい枝で割る」だけです。

7. 練習問題

ここからは、型を試す練習問題です。どの問題も、まず「〜のとき」「〜のうち」に線を引いて分母を決め、枝をかけて、欲しい枝を合計で割るだけです。％はそろっていれば整数のままかけてかまいません。自分で解いてから、解答を開いてみましょう。

問題1 ─ 工場の不良品（2台）

ある工場では、A機械とB機械の2台で製品を作っています。

• 製品全体の60%はA機械で、40%はB機械で作られている
• A機械で作られた製品の不良率は2%
• B機械で作られた製品の不良率は5%

ある製品を抜き取り検査したところ、不良品でした。この不良品がB機械で作られた確率を求めてください。

問題2 ─ 工場の3ライン

ある製品を、A・B・Cの3つのラインで生産しています。

• 生産割合：A 50%、B 30%、C 20%
• 不良品が出る確率：A 1%、B 2%、C 4%

抜き取った製品が不良品だったとき、それがラインBで作られた確率を求めてください。

問題3 ─ 医療検査（有病率が低い定番型）

ある病気の検査について、次のことがわかっています。

• 有病率（病気の人の割合）：2%
• 感度（病気の人が陽性になる確率）：90%
• 偽陽性率（病気でない人が陽性になる確率）：5%

陽性だったとき、その人が実際に病気である確率を求めてください。

問題4 ─ ワクチン（人数で与えられる型）

住民1,000人を調べたところ、次のようになりました。

• 接種済み 200人、未接種 800人
• 接種済みのうち感染：10人
• 未接種のうち感染：120人

感染した人を1人選んだとき、その人が未接種である確率を求めてください。

問題5 ─ 工場の検査機械

ある工場の検査機械について、次のことがわかっています。

• 製品全体のうち、本当に不良品：5%
• 不良品を正しく「不良」と判定：80%
• 良品を誤って「不良」と判定：10%

機械が「不良」と判定したとき、それが本当に不良品である確率を求めてください。

問題6 ─ 天気とイベント（枝が3本の型）

ある屋外イベントの開催記録から、次のことがわかっています。

• 天気の割合：晴れ 60%、曇り 30%、雨 10%
• 屋外イベントを開催する確率：晴れ 90%、曇り 50%、雨 20%

屋外イベントが開催されていた日が、曇りだった確率を求めてください。

まとめ

第6章5回目の本ページ、ポイントを整理しておきましょう。

• ベイズの定理：「結果から原因を推測する」確率の公式
• 具体例で考える：割合より人数で考えるのが圧倒的にわかりやすい(100人や10,000人を仮定)
• 樹形図(ツリー)：分岐を確率で進めて、各経路の人数を計算するとイメージしやすい
• 全確率の定理：P(B) = P(A) × P(B|A) + P(A^c) × P(B|A^c)。Bが起こる経路をすべて足す
• ベイズの定理の式：P(A|B) = P(A) × P(B|A) ÷ P(B)
• 事前確率の影響：もとの確率(P(A))が低いと、陽性でも病気の確率は思ったより低くなる
• 応用範囲：医療診断、スパムフィルター、機械学習など

次回は第6章のラスト、独立性に関する注意です。独立性を扱うときに陥りやすい落とし穴を整理して、第6章を締めくくりましょう。

さえ

ベイズの定理、計算しながら理解できたかな？　「陽性でも病気の確率は15%」。この衝撃、忘れられないよね。ベイズは「結果から原因を考える」最強の道具！　現代のAIや医療の根っこにあるんだよ！　第6章もあとひとつ！