ベイズの定理 ② 答えを求める・式で振り返る

前回、10,000人のうち陽性になったのは90人＋495人＝585人でした。

この585人のうち、本当に病気なのは90人だけ。残り495人は誤判定です。

P(病気｜陽性)＝90÷585≒0.1538≒15.4%。

予想より低かったですよね。検査の精度が90%もあるのに、病気である確率は約15%です。

誤判定の495人が、正解の90人より圧倒的に多いことが理由です。

なぜこんなに低いのか。理由は「もともと病気の人がとても少ない」からです。

100人に1人しか病気でないなら、10,000人中の病気はたった100人です。

一方、病気でない9,900人のたった5%でも、人数にすると495人にもなります。

母数が大きいと、誤判定の絶対数も大きくなる。これがベイズ計算の核心です。

検査の精度（90%・5%）だけ見ると高そうでも、もとの確率が低いと答えは思ったより低くなります。

「精度」と「事前確率」の両方を見るのが、ベイズの考え方です。

ここまでの計算を、確率の式で振り返ってみましょう。

事象A＝病気である、事象Aの余事象＝病気でない、事象B＝検査が陽性、と決めます。

わかっている確率は、P(A)＝0.01、P(B|A)＝0.90、P(B|A^c)＝0.05でした。

陽性者の合計は、P(B)＝P(A)×P(B|A)＋P(A^c)×P(B|A^c)という式で書けます。

実際に計算すると、P(B)＝0.01×0.90＋0.99×0.05＝0.0585。

これは10,000人中585人が陽性、つまり5.85%という先ほどの結果と一致します。

意味は素朴です。「Bが起こる確率は、Bが起こりうるすべての経路を足したもの」ということです。

私たちが求めたいのはP(A|B)。条件付確率の定義から、P(A|B)＝P(A∩B)÷P(B)です。

分子のP(A∩B)は「病気かつ陽性」の確率で、P(A)×P(B|A)と表せます。

これが、あの「ベイズの定理」の正体です。

実際に値を入れると、P(A|B)＝0.01×0.90÷0.0585＝0.1538…（≒15.4%）。

人数で計算したものと、式で計算したものがぴったり一致しますね。

次回は、このベイズの定理がなぜ大切なのか、そして試験での解き方の型を見ていきます。