統計的な推測 ③ 標本平均と標本比率の標本分布

前回、標本平均が確率変数であり、その分布が「標本分布」だと学びました。

今回は、標本平均の標本分布の性質を、具体的に見ていきましょう。

母集団から大きさnの無作為標本を取り、標本平均x̄を考えます。母平均μ、母分散σ²とします。

標本平均x̄の期待値は E(x̄)＝μ、分散は V(x̄)＝σ²／n です。

標準偏差で見ると σ／√n（シグマ割るルートn）になります。

まずE(x̄)＝μの意味。標本平均を何度も計算して平均を取れば、母平均と一致するのです。

標本平均は、母平均の「偏りなき推定値」。これが推定値として使える理論的な根拠です。

次はV(x̄)＝σ²／n。標本サイズnが大きいほど、分散は小さくなります。

標準偏差もσ／√nなので、nが4倍になれば標準偏差は半分です。

たくさんの人の身長平均のほうが、値は安定するはず。それを式で表したのがこの形です。

100人の平均と1万人の平均なら、後者のほうが真の母平均に近いと感じますよね。

ここで、3級を少し超えるけれど知っておきたい定理を紹介します。

中心極限定理：母集団がどんな分布でも、nが十分大きいとき標本平均x̄は正規分布に従います。

母集団自体がどんな歪な分布でも、標本平均を集めれば正規分布の形になるのです。

もうひとつ、よく扱われるのが「標本比率の標本分布」です。

標本の中で、ある条件を満たす要素の割合が標本比率p̂（ピー・ハット）です。

標本100人中42人が支持と答えたら、p̂＝42／100＝0.42になります。

標本比率も標本のとり方で値が変わる確率変数。だから標本分布があります。

母比率をp、標本サイズをnとすると、E(p̂)＝p、V(p̂)＝p(1−p)／n です。

期待値は母比率と一致し、nが大きいほどばらつきが小さい…標本平均と同じ構造ですね。

「全国2,000人を対象に世論調査」というニュース、聞いたことがありませんか。

p≒0.5、n＝2000なら、標準偏差は√(0.5×0.5／2000)≒0.0112です。

つまり±1.1%程度の誤差で、母比率を推定できるということです。

日本国民1億人が相手でも、2000人の標本で実用的な精度が得られるのです。

では「統計的な推測①」のシリーズをまとめましょう。

統計的推測は「標本から母集団を推測する」営みで、推定と仮説検定の2つがありました。

母平均μ⇔標本平均x̄、母比率p⇔標本比率p̂は必ず区別する、という話もしましたね。

標本平均・標本比率は確率変数で、その確率分布が標本分布。これが本シリーズの核心です。

次回は『区間推定』。標本分布の性質を使って、誤差を含めた推定を行う方法を学びます。