区間推定 ② 母平均と母比率の信頼区間

今回は、実際に母平均・母比率の信頼区間を計算していきます。

まずは母平均から。標本平均x̄は、平均μ・標準偏差σ/√nの正規分布にしたがいます。

これを標準化すると、Z=(x̄−μ)/(σ/√n)は標準正規分布にしたがいます。

前回の「Zは−1.96〜1.96に95%の確率で入る」を、この式に当てはめます。

式をμについて解くと、次の形になります。

母平均μの95%信頼区間は「x̄−1.96×(σ/√n) ≤ μ ≤ x̄+1.96×(σ/√n)」です。

「標本平均を中心に、左右へ1.96×σ/√nの幅を取る」というのが正体です。

具体例で確かめましょう。ある工場の製品重さは正規分布、母標準偏差σ=10gとします。

100個の標本平均はx̄=250gでした。母平均μの95%信頼区間を求めます。

σ/√n=10/√100=10/10=1。1.96×1=1.96になります。

よって95%信頼区間は「250−1.96 ≤ μ ≤ 250+1.96」。

計算すると「248.04 ≤ μ ≤ 251.96」。約248g〜252gの範囲です。

信頼度を変えると、係数も変わります。90%なら1.645、99%なら2.576です。

信頼度を上げるほど、区間の幅は広くなります。「絶対外したくない」ほど幅が広がる、直感どおりです。

3級の試験で最頻出なのは95%信頼区間。1.96はしっかり覚えておきましょう。

続いて母比率です。考え方は母平均とまったく同じです。

標本比率p̂の標本分布の標準偏差は、√(p(1−p)/n)でした。

母比率pは不明なので、計算では標本比率p̂で代用します。

母比率pの95%信頼区間は「p̂±1.96×√(p̂(1−p̂)/n)」の形になります。

具体例として、選挙の出口調査を見てみましょう。

500人に聞いたところ、A候補と答えたのは250人でした。

p̂=250/500=0.5。p̂(1−p̂)=0.5×0.5=0.25です。

√(0.25/500)=√0.0005≒0.0224。1.96×0.0224≒0.0438です。

95%信頼区間は「0.5−0.0438 ≤ p ≤ 0.5+0.0438」。

「A候補の得票率は約45.6%〜54.4%（95%信頼区間）」となります。

選挙特番の「A党は◯議席〜◯議席の見込み」も、まさにこの信頼区間の応用です。

得票率に誤差があるから、議席数もピンポイントでなく幅で予測されるわけです。

次回は、この「信頼区間」の意味について、よくある誤解を整理していきます。