前回、確率変数の期待値を学びました。今回は「ばらつき」を表す分散と標準偏差です。
分散V(X)は、「Xと期待値E(X)の差の2乗」の期待値として定義されます。
式で書くと V(X)＝E[(X−E(X))²] です。
実際の計算式は V(X)＝(x₁−E(X))²×p₁＋(x₂−E(X))²×p₂＋… となります。
「中心からのズレの2乗」を、確率を重みにして平均する。これが分散です。
公平なサイコロで計算してみましょう。E(X)＝3.5でしたね。
V(X)＝(1−3.5)²×(1/6)＋(2−3.5)²×(1/6)＋(3−3.5)²×(1/6)
＋(4−3.5)²×(1/6)＋(5−3.5)²×(1/6)＋(6−3.5)²×(1/6)
＝(6.25+2.25+0.25+0.25+2.25+6.25)×(1/6)＝17.5×(1/6)
＝35/12≒2.92。これがサイコロの分散です。
さえ2.92は「目²」で2乗の単位。直感的にはピンとこないよね。
そこで登場するのが標準偏差です。分散の平方根を取ります。
標準偏差σ(X)＝√V(X)。分散は元の単位の2乗なので、平方根で元に戻します。
サイコロの標準偏差はσ(X)＝√(35/12)≒1.71です。
「サイコロを振ると、平均3.5から±1.71くらいズレる」という意味になります。
さえ60回振って1〜6が10回ずつピッタリ出るなんて、まず起きないもんね！
分散には、もう1つ計算しやすい便利な公式があります。
V(X)＝E(X²)−(E(X))²。「Xの2乗の期待値」から「Xの期待値の2乗」を引きます。
サイコロで確かめましょう。E(X²)＝1²×(1/6)＋2²×(1/6)＋…＋6²×(1/6)
＝(1+4+9+16+25+36)×(1/6)＝91×(1/6)≒15.17
(E(X))²＝3.5²＝12.25なので、V(X)＝15.17−12.25≒2.92
定義通りの計算と一致しました。この公式のほうが計算はラクです。
ここで練習問題です。赤玉6個・黄色玉8個・緑玉6個、合計20個の袋があります。
赤玉1点・黄色玉2点・緑玉3点として、得点XはP(1)＝0.3、P(2)＝0.4、P(3)＝0.3。
E(X)＝1×0.3+2×0.4+3×0.3＝0.3+0.8+0.9＝2.0と求まります。
E(X²)＝1×0.3+4×0.4+9×0.3＝0.3+1.6+2.7＝4.6
V(X)＝E(X²)−(E(X))²＝4.6−4.0＝0.6
標準偏差はσ(X)＝√0.6≒0.77です。
さえ試験では「分散を聞かれたのに標準偏差を書く」ミスが本当に多いの！
さえ答える直前に「聞かれているのは分散？標準偏差？」と指さし確認してね！
分散は期待値からのばらつきの2乗の期待値、標準偏差はその平方根。整理できましたね。
次回は、確率変数をaX+bの形に変換したときの性質を学びます。
