事象と確率 ④ 定義の比較と基本的な性質

前回、確率の3つの定義（古典的・頻度・公理的）を学びました。

今回は、3つの定義を比較し、確率の基本的な性質を整理します。

まず3つの定義を並べてみましょう。

古典的確率は「場合の数を数える」方法。サイコロやくじが得意です。

頻度確率は「多数回の試行から相対頻度」を求める方法。打率や事故率が得意です。

公理的確率は「公理（ルール）から導く」方法。あらゆる場面に対応できます。

実務や試験では、場面に応じてこの3つを使い分けるのが現実的です。

ここからは、確率が満たす基本的な性質を見ていきます。

性質1「確率は0以上1以下」。P(A)は必ず0≦P(A)≦1の範囲に収まります。

「確率が1.5」「確率が−0.2」のような値は、絶対に出てきません。

性質2「余事象の確率」。P(A^c)＝1−P(A)という公式です。

AとA^cを合わせると全事象になるので、この関係が成り立ちます。

「Aが起こる確率」より「Aが起こらない確率」の方が計算しやすい場面で使う技です。

性質3「和事象の確率」。P(A∪B)＝P(A)＋P(B)−P(A∩B)という公式です。

これは「確率の加法定理」と呼ばれます。

AとBが重なる場合、単純に足すと重なり部分を2回数えてしまうからです。

サイコロでA＝偶数(2,4,6)、B＝5以上(5,6)とすると、A∩B＝1/6です。

P(A∪B)＝1/2＋1/3−1/6＝4/6＝2/3。A∪B＝{2,4,5,6}の4個と一致します。

もしAとBが排反なら、A∩B＝∅なのでP(A∩B)＝0。単純にP(A)＋P(B)で計算できます。

ここまでのシリーズをまとめましょう。

試行は結果がいくつか考えられる行為。事象は試行の結果として起こる事柄でした。

事象の用語は、根元事象・全事象・和事象・積事象・余事象・排反・空事象でした。

確率の定義は、古典的確率・頻度確率・公理的確率の3つでした。

加法定理と余事象の公式、この2つの計算テクニックも押さえておきましょう。

次は『事象と確率の練習問題』です。ここで学んだ知識を、実際に使ってみましょう。