条件付確率 ② 一般の乗法定理と計算の流れ

条件付確率の式を変形すると、重要な公式が出てきます。

P(B|A)＝P(A∩B)÷P(A)の両辺に、P(A)を掛けてみましょう。

P(A∩B)＝P(A)×P(B|A)。これが「一般の乗法定理」です。

「AかつBの確率」は「Aの確率」×「Aの条件下でのBの確率」と読めます。

ここで、独立性を思い出してください。

AとBが独立なら、P(A∩B)＝P(A)×P(B)でしたね。

乗法定理P(A∩B)＝P(A)×P(B|A)と見比べてみましょう。

独立な場合は、P(B|A)＝P(B)が成り立つとわかります。

つまり「Aの情報がBの確率に影響しない」ことが、独立性の本質でした。

条件付確率を学ぶと、独立性の意味もより深く理解できます。

続いて、非復元抽出を条件付確率の言葉で書き直してみましょう。

袋に赤玉4個・白玉6個（合計10個）。戻さずに2回引いて両方赤の確率を考えます。

A＝1回目に赤、B＝2回目に赤とします。

P(A)＝4/10＝2/5。1回目で赤を1個引いた後、袋は残り9個です。

P(B|A)＝3/9＝1/3。1回目に赤を引いた条件下での2回目の確率です。

乗法定理より、P(A∩B)＝2/5×1/3＝2/15となります。

非復元抽出で確率を掛け算できるのは、乗法定理そのものだったのです。

独立でなくても使える、より一般的な公式が乗法定理なのです。

ここからは、条件付確率の問題を解く「流れ」を整理します。

①条件Aと知りたい事象Bを区別します。

「○○である人のうち、△△の確率」なら○○がA、△△がBです。

②「条件Aの世界」をイメージします。クラスから絞る、袋の中身が減る、など。

③その縮んだ世界の中で、Bが起こる割合を計算します。

次回は、練習問題を通してこの流れを体に染み込ませましょう。