条件付確率 ① 「世界が縮む」感覚と式

確率の世界を、もう一歩深く進めていきます。

今回学ぶのは「条件付確率」という考え方です。

ある情報がわかったあとで、別の事象が起こる確率を考えます。

まずは式を使わず、身近な例でイメージをつかみましょう。

30人のクラスで、男子18人・女子12人。

「数学が好き」と答えたのは、男子12人・女子6人でした。

質問A：無作為に1人を選んだとき、その人が数学好きである確率は？

数学好きは合計12＋6＝18人。答えは18/30＝3/5です。

質問B：選んだ人が男子だったとき、その人が数学好きである確率は？

男子18人のうち数学好きは12人。答えは12/18＝2/3です。

同じ「数学好き」の確率なのに、3/5と2/3、答えが違いますね。

理由はシンプルです。「男子である」という情報が先に与えられたから。

考える対象が、クラス全体30人から、男子だけ18人に縮んだのです。

分母が変わったから、確率の値も変わったわけですね。

この「情報で世界が縮む」感覚こそ、条件付確率の本質です。

この感覚さえつかめれば、この先の式もすんなり理解できます。

ここからは、この感覚を式で表してみましょう。

事象Aが起きたという条件のもとで、事象Bが起こる確率をP(B|A)と書きます。

縦棒の右がA＝条件、左がB＝知りたい事象。「ピー、ビー、ギブンエー」と読みます。

定義式は、P(B|A)＝P(A∩B)÷P(A)（ただしP(A)＞0）です。

A＝男子、B＝数学好きとすると、P(A)＝18/30、P(A∩B)＝12/30。

P(B|A)＝(12/30)÷(18/30)＝12/18＝2/3。直感の答えと一致しました。

式は、私たちの直感を正確に表現するための道具なのです。

次回は、この式を変形して出てくる「乗法定理」を学びます。