事象と確率の練習問題

全事象 U = {(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)}　の4通り

コイン1枚目と2枚目を区別すると、それぞれ表裏の2通りなので、合計 2 × 2 = 4通りの結果がありえます。「(H,T)と(T,H)は別の根本事象」として扱う点に注意してください。

A = {1, 2, 3}（3以下なので1,2,3が含まれる）

B = {2, 4, 6}（1〜6のうち偶数は2,4,6）

C = {4}（根本事象1個だけからなる事象）

Cのように1つの根本事象だけを含む事象も、立派な「事象」です。

A = {1, 2, 3}、B = {2, 4, 6} を思い出します。

(1) A∪B = {1, 2, 3, 4, 6}

AまたはBのどちらかに含まれるものを集めます。重複（2は両方に含まれる）は1回だけ書きます。

(2) A∩B = {2}

AとBの両方に共通して含まれるのは「2」だけです。

(3) A^c = {4, 5, 6}

全事象 U = {1,2,3,4,5,6} のうち、Aに含まれない要素を集めます。「Aではない」のすべてが余事象です。

まず、1〜6のうち素数を確認します。素数とは「1とその数自身でしか割り切れない、2以上の自然数」のこと。1〜6のうち素数は 2, 3, 5 の3つです（1は素数ではない、4は2で割れる、6は2や3で割れる）。

全事象は1〜6の6通り、素数が出る事象は3通りなので、

P(素数) = 3 ÷ 6 = 1/2

確率の問題は、まず「条件を満たす根本事象を正しく数える」ことから始めましょう。素数の定義を勘違いすると答えがズレます。

全事象は問題1で書き出した {(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)} の4通り。

「表が少なくとも1枚出る」事象は、(H,H), (H,T), (T,H) の3通りです。

P(表が1枚以上) = 3 ÷ 4 = 3/4

ヒント：「少なくとも1枚」の余事象は「1枚も表が出ない」、つまり (T,T) の1通りだけ。これを使って次のように計算する手もあります。

P(表が1枚以上) = 1 − P(表が0枚) = 1 − 1/4 = 3/4

どちらでも同じ答えになります。次の問題で、余事象を使った計算をもう少し掘り下げます。

この問題を「1回出る」「2回出る」「3回出る」と場合分けして直接計算するのは大変です。余事象を使いましょう。

「1が少なくとも1回出る」の余事象は、「1が1回も出ない」、つまり3回とも1以外が出るです。

サイコロ1回で1以外が出る確率は 5/6。3回連続で1以外が出る確率は、独立な試行なので（次回詳しく扱います）、

P(3回とも1以外) = (5/6) × (5/6) × (5/6) = 125/216

したがって、求める確率は

P(1が少なくとも1回出る) = 1 − 125/216 = 91/216

余事象の発想を使うと、計算がずっと楽になりますね。3級では「少なくとも〜」ときたら反射的に余事象と考えるクセをつけましょう。

この問題も余事象を使います。「少なくとも2人は同じ月」の余事象は「3人とも違う月」です。

全事象は、3人それぞれが12通りの月に生まれるので、12 × 12 × 12 = 1,728通り。

「3人とも違う月」になる場合の数は、1人目が12通り、2人目が11通り（1人目と違う月）、3人目が10通り（1・2人目と違う月）なので、12 × 11 × 10 = 1,320通り。

P(3人とも違う月) = 1,320 ÷ 1,728 = 55/72

したがって、求める確率は

P(少なくとも2人は同じ月) = 1 − 55/72 = 17/72 ≒ 0.236

意外と低い確率に感じるかもしれませんね。「誕生日のパラドックス」という有名な問題の縮小版です。

事象A = ハート、事象B = 絵札 とします。

• P(A) = ハートは13枚なので、13/52 = 1/4
• P(B) = 絵札は4スート × 3枚 = 12枚なので、12/52 = 3/13
• P(A∩B) = ハートかつ絵札 = ハートのJ, Q, Kの3枚なので、3/52

加法定理を使います。

P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) = 13/52 + 12/52 − 3/52 = 22/52 = 11/26

ハートが13枚、絵札が12枚で合計25枚と思いがちですが、ハートのJ・Q・Kが両方に含まれているので3枚分を引いて22枚。これが加法定理の本質です。

事象A = 数学が好き、事象B = 英語が好き とします。

• P(A) = 18/30
• P(B) = 15/30
• P(A∩B) = 10/30（両方好きな人）

加法定理から、

P(A∪B) = 18/30 + 15/30 − 10/30 = 23/30

実際に、数学だけ好きな人は 18 − 10 = 8人、英語だけ好きな人は 15 − 10 = 5人、両方好きな人は10人。合計 8 + 5 + 10 = 23人。30人中23人なので 23/30。一致します。

どちらも好きじゃない人は 30 − 23 = 7人いることになります。

全事象は、1回目に1〜6の6通り、2回目に1〜6の6通りなので、6 × 6 = 36通り。

和が10以上になる場合を書き出してみます。

• 和が10：(4,6), (5,5), (6,4) → 3通り
• 和が11：(5,6), (6,5) → 2通り
• 和が12：(6,6) → 1通り

合計 3 + 2 + 1 = 6通り。

したがって、

P(和が10以上) = 6/36 = 1/6

サイコロを2回振る問題では、「(1回目, 2回目)を区別して書き出す」のがコツです。たとえば(4,6)と(6,4)は別の根本事象として扱います。書き出すのが面倒に感じるかもしれませんが、この丁寧な作業が確実な正解への近道です。