時系列データ② — トレンド・移動平均・自己相関

1. 時系列の3つの変動成分

時系列データ $x_t$ の動きは、おおむね次の3つの成分の重ね合わせと考えると整理しやすくなります。

• トレンド（傾向変動）：長期的な上昇・下降・横ばいの大きな流れ
• 季節変動（周期変動）：1年や1週間など、一定周期で繰り返す規則的な波
• 不規則変動（偶然変動）：上の2つで説明できない、突発的・偶発的なゆらぎ

たとえば、ある会社の四半期売上を考えます。「年々じわじわ伸びている」のがトレンド、「毎年Q4（年末商戦）に跳ねる」のが季節変動、「その月だけ天災で落ち込んだ」のが不規則変動です。これら3つを分けて見れば、表面の上下に惑わされず本質をつかめます。

この記事で扱う四半期売上データ（3年・12期分）を、まず表にしておきます。Q4ごとに高く、年を追うごとに底上げされている、季節変動＋上昇トレンドのデータです。

2. 移動平均で平滑化する

季節変動と不規則変動を取り除いてトレンドだけを取り出すには、移動平均が使えます。連続する数期の平均をとって、データのギザギザを「ならす（平滑化する）」操作です。

単純移動平均

奇数 $2m+1$ 期の単純移動平均は、その時点を中心に前後 $m$ 期を平均します。 $$\hat{x}_t = \frac{1}{2m+1}\sum_{j=-m}^{m} x_{t+j}$$ たとえば3期移動平均なら $\hat{x}_t = \dfrac{x_{t-1}+x_t+x_{t+1}}{3}$ です。移動平均の期数を季節の周期に合わせるのがコツです。四半期データの季節周期は4なので、4期移動平均をとると1年分をならすことになり、季節変動がきれいに消えます。

中心化移動平均（周期が偶数のとき）

ところが周期4は偶数。4期の平均は2.5番目と3.5番目の「間」に対応してしまい、もとの時点に乗りません。そこで、ずれた4期移動平均をさらに隣どうしで2期平均し、整数の時点に合わせます。これを中心化移動平均と呼びます。重みで書くと次の通りです。

3期目（1年目Q3、値12）の中心化移動平均を計算してみましょう。前後2期は $x=10,14,12,18,12$。 $$\hat{x}_3 = \tfrac{1}{8}(10) + \tfrac{1}{4}(14) + \tfrac{1}{4}(12) + \tfrac{1}{4}(18) + \tfrac{1}{8}(12) = 1.25 + 3.5 + 3 + 4.5 + 1.5 = 13.75$$ 同じ要領で全期を計算すると、$13.75,\ 14.25,\ 14.75,\ 15.25,\ 15.75,\ 16.25,\ 16.75,\ 17.25$（3期目〜10期目）と、季節の山谷が消えてきれいな右肩上がりの直線になります。これが取り出されたトレンドです。

移動平均は、いわば「ならし」です。期数を季節の周期に合わせると、繰り返す波がぴったり打ち消し合って、長期の流れだけが残ります。株価のチャートでよく見る「移動平均線」も、まさにこれです。

移動平均の期数は季節周期に合わせるのが基本で、月次データ（周期12）なら12期、四半期（周期4）なら4期です。周期が偶数のときは中心化移動平均で時点を合わせます。

平滑化すると端のデータが計算できず短くなる、という副作用も覚えておきましょう。

3. 自己相関 — 何期前と似ているか

季節性（周期）を数値で測りたいときに使うのが自己相関です。アイデアはシンプルで、時系列を自分自身の $k$ 期前のコピーとどれくらい相関するかを見ます。相関係数の相手を「自分の過去」にしただけ、と思ってください。$k$ をラグ（遅れ）と呼びます。

$r_k$ が大きな正の値なら「$k$ 期前と似た動きをしている」、つまりその $k$ が周期の候補です。季節変動があると、周期にあたるラグで $r_k$ が大きくなります。

さきほどの四半期売上12期分（平均 $\bar{x}=15.5$）で自己相関を計算すると、次のようになります。

$r_4 = 0.51$ と、ラグ4で自己相関が最大になっています。これは「4期（＝1年）前と最もよく似ている」ことを意味し、データに周期4の季節変動があることを数字が裏づけています。

ラグ2が正、ラグ1・3が負になっているのも、Q2・Q4で高くQ1・Q3で低い、という規則的な上下を反映しています。

4. コレログラムで周期を読む

自己相関係数 $r_k$ を、横軸にラグ $k$、縦軸に $r_k$ をとって棒グラフにしたものをコレログラム（自己相関図）と呼びます。どのラグで相関が高いかが一目でわかる、時系列分析の定番グラフです。

コレログラムの読み方のポイントを整理します。

• 特定のラグで山：そのラグが周期。四半期データならラグ4、月次ならラグ12で山が立てば季節性あり
• ラグが増えてもなかなか下がらない：強いトレンドがある（近い時点ほど似るため、緩やかに減衰）
• どのラグもほぼ0：規則性のない（ホワイトノイズに近い）系列

自己相関は「自分の過去との相関」。コレログラムは、いわば「周期の探知機」です。どのラグに山が立つかを見れば、データに潜む周期が一目でわかります。

移動平均が「ならしてトレンドを見る」道具なら、コレログラムは「繰り返しを見つける」道具。2つをセットで覚えると、時系列の見方がぐっとプロっぽくなります。

これで第1章「データの記述と要約」は完了です。次章からは確率の世界に入ります。最初の一歩は 2-1 事象と確率。記述統計でつかんだデータの感覚を土台に、いよいよ「偶然を数で扱う」推論の準備を始めましょう。

さえ

第1章、ぜんぶ走り切ったね、すごい！　移動平均と自己相関は手を動かすと一気に腑に落ちるよ。今日の四半期データで、中心化移動平均を1つだけでも自分で計算してみてね。次は確率だよ、楽しみにしてて！