離散分布② ポアソン・幾何分布 — 稀な事象の件数と初成功までの試行回数
離散分布の2回目は、ポアソン分布と幾何分布です。前回（2-7）の二項分布が「決まった回数のうち何回成功するか」だったのに対し、今回の2つは少し視点が違います。ポアソン分布は「一定時間・空間で稀な事象が何件起きるか」、幾何分布は「初めて成功するまでに何回かかるか」を表します。
ポアソン分布は、二項分布で「$n$ を大きく・$p$ を小さく」した極限として自然に現れます。前回の二項分布が土台になるので、つながりを意識しながら読んでみてください。期待値・分散の結果と、どんな場面で使うのかをセットで押さえれば、試験でも実務でも迷いません。
今日の2つは「件数」と「回数」の分布だよ！ ポアソンはめったに起きないことが何件起きる？、幾何は初成功まで何回かかる？。場面がはっきり分かれてるから、使いどころとセットで覚えると一生忘れないよ！
1. ポアソン分布 ─ 稀な事象の件数
ポアソン分布は、一定の時間や空間の中で、めったに起きない事象が何件起きるかを表す分布です。1時間あたりの来店客数、1ページあたりの誤植数、ある交差点で1日に起きる事故件数──こうした「件数（カウント）」のモデルとして広く使われます。
平均発生件数 $\lambda$（ラムダ、$\lambda>0$）のポアソン分布に従う $X$ の確率関数（pmf）： $$P(X=k)=\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!}\qquad(k=0,1,2,\dots)$$ $\lambda$ は「単位時間・単位空間あたりに平均して何件起きるか」を表すパラメータです。$e$ は自然対数の底（約 $2.718$）、$k!$ は $k$ の階乗です。
期待値と分散
ポアソン分布では、期待値と分散がどちらも $\lambda$ に一致するという美しい性質があります。 $$E[X]=\lambda,\qquad V[X]=\lambda$$ 「平均件数も、そのばらつき（分散）も同じ $\lambda$」という覚えやすさが特徴です。実データで平均と分散が近い値なら、ポアソン分布で近似できるサインになります。
$\lambda=2$ のポアソン分布。$k=1,2$（平均 $\lambda=2$ 付近）が最も起こりやすい
二項分布の極限としてのポアソン分布
ポアソン分布は、二項分布 $\mathrm{Bin}(n,p)$ で「試行回数 $n$ を非常に大きく、成功確率 $p$ を非常に小さく、ただし平均 $np$ を一定値 $\lambda$ に保つ」という極限をとると現れます。直感的には「チャンスは無数にあるが、1回あたりの成功確率はごくわずか。でも平均すると $\lambda$ 件起きる」という状況です。
$np=\lambda$ を一定に保ったまま $n\to\infty$（このとき $p=\lambda/n\to0$）とすると、 $$\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\ \longrightarrow\ \frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$$ 二項分布がポアソン分布に近づきます。これが「ポアソンは稀な事象の分布」と呼ばれる理由です。
この対応のうれしい副産物が、期待値・分散の確認です。二項分布の $E[X]=np$、$V[X]=np(1-p)$ で $np=\lambda$ とおくと、$E[X]=\lambda$、$V[X]=\lambda(1-p)\to\lambda$（$p\to0$ なので $1-p\to1$）。前回（2-7）の結果が、そのままポアソンの $E[X]=V[X]=\lambda$ につながっています。
あるコールセンターには1分あたり平均 $\lambda=2$ 件の電話がかかってくるとします。1分間にちょうど3件かかってくる確率は？
$$P(X=3)=\frac{2^{3}e^{-2}}{3!}=\frac{8\times e^{-2}}{6}\approx\frac{8\times0.1353}{6}\approx 0.180$$ 約 $18\%$。また期待値も分散も $\lambda=2$ なので、「平均2件、標準偏差 $\sqrt{2}\approx1.41$ 件」と見積もれます。
2. 幾何分布 ─ 初めて成功するまでの試行回数
幾何分布は視点が変わって、成功確率 $p$ のベルヌーイ試行をくり返し、初めて成功するまでにかかった試行回数 $X$ の分布です。「サイコロで初めて6が出るまで何回振るか」「初めてアタリを引くまで何回くじを引くか」といった場面で使います。
成功確率 $p$ の幾何分布に従う $X$ の確率関数（pmf、$k$ 回目で初成功）： $$P(X=k)=(1-p)^{k-1}\,p\qquad(k=1,2,3,\dots)$$ $k-1$ 回連続で失敗（確率 $(1-p)^{k-1}$）し、$k$ 回目に成功（確率 $p$）する、という意味です。
期待値と分散
幾何分布（$k=1,2,\dots$ の定義）の期待値と分散： $$E[X]=\frac{1}{p},\qquad V[X]=\frac{1-p}{p^{2}}$$ $E[X]=1/p$ は直感的です。成功確率が $p$ なら、平均すると「$1/p$ 回に1回」成功する、つまり初成功までに平均 $1/p$ 回かかる、ということです。
$p=0.3$ の幾何分布。$k=1$ が最も高く、回数が増えるほど確率は単調に減る（右に裾を引く）
当たる確率 $p=0.3$ のくじを、当たるまで引き続けます。何回目で初めて当たるかを $X$ とすると、$X$ は $p=0.3$ の幾何分布に従います。
- 3回目で初めて当たる確率：$P(X=3)=(0.7)^{2}(0.3)=0.49\times0.3=\mathbf{0.147}$
- 期待値：$E[X]=\dfrac{1}{0.3}\approx\mathbf{3.33}$ 回
- 分散：$V[X]=\dfrac{1-0.3}{0.3^{2}}=\dfrac{0.7}{0.09}\approx\mathbf{7.78}$
「平均すると3〜4回目くらいで初当たり」と見積もれます。図のとおり1回目が最も起こりやすく、回を追うごとに確率が下がっていくのが幾何分布の形です。
3. 使いどころの整理
2つの分布は「何を数えているか」がはっきり違います。混同しないよう、場面とセットで整理しておきましょう。
| 分布 | 表すもの | pmf | $E[X]$ | $V[X]$ |
|---|---|---|---|---|
| ポアソン$(\lambda)$ | 一定時間・空間で 稀な事象が起きる件数 |
$\dfrac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$ | $\lambda$ | $\lambda$ |
| 幾何$(p)$ | 初めて成功するまでの 試行回数 |
$(1-p)^{k-1}p$ | $\dfrac{1}{p}$ | $\dfrac{1-p}{p^{2}}$ |
判別のコツは「件数を数えるならポアソン、初成功までの回数を数えるなら幾何」。さらに、ポアソンは「平均＝分散＝$\lambda$」、幾何は「平均＝$1/p$」を真っ先に思い出せれば、ほとんどの問題に対応できます。なお幾何分布には「初成功までの失敗回数（$k=0,1,2,\dots$）」で定義する流儀もあり、その場合は $E[X]=\dfrac{1-p}{p}$ になります。問題文がどちらの定義かを確認しましょう。
まとめ
第2章 2-8、ポイントを整理します。
- ポアソン分布$(\lambda)$：稀な事象の件数。$P(X=k)=\dfrac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$
- ポアソンの $E,V$：$E[X]=V[X]=\lambda$（平均も分散も同じ）
- 二項の極限：$np=\lambda$ を保ち $n$ 大・$p$ 小とするとポアソンに近づく
- 幾何分布$(p)$：初成功までの試行回数。$P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$
- 幾何の $E,V$：$E[X]=\dfrac{1}{p}$、$V[X]=\dfrac{1-p}{p^{2}}$
- 判別：件数→ポアソン、初成功までの回数→幾何
ここまでで主要な離散分布が一通りそろいました。次回 2-9 連続分布①（一様・指数分布） からは、連続型の分布に進みます。和（$\sum$）が積分（$\int$）に変わるだけで、期待値・分散の考え方はそのまま使えますよ。
ポアソンは「件数」、幾何は「初成功までの回数」──場面で覚えたら強いよ！ ポアソンの $E=V=\lambda$、幾何の $E=1/p$ は即答できるようにしておこう。次はいよいよ連続分布、$\sum$ が $\int$ になるだけだから怖くないよ！