離散分布① ベルヌーイ・二項分布 — 和への分解で期待値と分散を導出

成功確率 $p$ のベルヌーイ分布に従う $X$ の確率関数（pmf）： $$P(X=1)=p,\qquad P(X=0)=1-p$$ まとめて1本の式にすると（$x=0,1$）： $$P(X=x)=p^{x}(1-p)^{1-x}$$ $x=1$ なら $p^1(1-p)^0=p$、$x=0$ なら $p^0(1-p)^1=1-p$ となり、上の2式に一致します。

$$ \begin{aligned} E[X] &= \sum_{x=0}^{1} x\, P(X=x) &&\text{(期待値の定義)}\\[2pt] &= 0\cdot(1-p) + 1\cdot p &&\text{(}x=0,1\text{ を代入)}\\[2pt] &= p \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} E[X^2] &= 0^2\cdot(1-p) + 1^2\cdot p = p &&\text{(}X^2=X\text{ なので }E[X^2]=p\text{)}\\[2pt] V[X] &= E[X^2]-(E[X])^2 &&\text{(分散の公式 2-5b)}\\[2pt] &= p - p^2 &&\text{(}E[X^2]=p,\ E[X]=p\text{ を代入)}\\[2pt] &= p(1-p) \end{aligned} $$

ベルヌーイ分布のまとめ： $$E[X]=p,\qquad V[X]=p(1-p)$$ 分散 $p(1-p)$ は $p=0.5$ のとき最大（$0.25$）になります。「成功と失敗が五分五分のときがいちばん予測しにくい＝ばらつきが大きい」という直感とぴったり合いますね。

$\mathrm{Bin}(n,p)$ に従う $X$ の確率関数（pmf）： $$P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\qquad(k=0,1,\dots,n)$$ ここで $\binom{n}{k}$ は「$n$ 回のうちどの $k$ 回が成功か」の選び方の総数（組合せ）です。

二項分布の和分解：$X_1,X_2,\dots,X_n$ を互いに独立で同一のベルヌーイ分布（成功確率 $p$）に従う確率変数とすると、 $$X = \sum_{i=1}^{n} X_i \ \sim\ \mathrm{Bin}(n,p)$$ 「独立同分布（i.i.d.）なベルヌーイの和が二項分布」──これがすべての出発点です。

$$ \begin{aligned} E[X] &= E\!\left[\sum_{i=1}^{n} X_i\right] &&\text{(和に分解)}\\[2pt] &= \sum_{i=1}^{n} E[X_i] &&\text{(期待値の線形性 2-5a。独立は不要)}\\[2pt] &= \sum_{i=1}^{n} p &&\text{(各 } X_i \text{ はベルヌーイなので } E[X_i]=p\text{)}\\[2pt] &= n\,p \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} V[X] &= V\!\left[\sum_{i=1}^{n} X_i\right] &&\text{(和に分解)}\\[2pt] &= \sum_{i=1}^{n} V[X_i] &&\text{(独立なので分散の和に分解できる 2-5c)}\\[2pt] &= \sum_{i=1}^{n} p(1-p) &&\text{(各 } X_i \text{ はベルヌーイなので } V[X_i]=p(1-p)\text{)}\\[2pt] &= n\,p(1-p) \end{aligned} $$

二項分布 $\mathrm{Bin}(n,p)$ のまとめ： $$E[X]=np,\qquad V[X]=np(1-p),\qquad \sigma=\sqrt{np(1-p)}$$ 期待値の導出は独立を使わず、分散の導出は独立を使う。この使い分けが2級の最頻出ポイントです。$E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ は無条件、$V[X+Y]=V[X]+V[Y]$ は独立が必要──ここをセットで思い出しましょう。