5数要約と外れ値

1. 5数要約とは ─ 5つの位置でデータをつかむ

5数要約とは、データを小さい順に並べたときの、次の5つの値をまとめたものです。累積でいうと、$0\%$、$25\%$、$50\%$、$75\%$、$100\%$ の位置にある値、と言い換えられます。

第2四分位数 $Q_2$ は中央値そのものです。$Q_1$ はデータの下半分の真ん中、$Q_3$ は上半分の真ん中、と考えるとつかみやすいですよ。これら3つ（$Q_1,\,Q_2,\,Q_3$）でデータを4等分する区切りができ、両端の最小・最大を加えて5数要約になります。

四分位範囲（IQR）

$Q_1$ と $Q_3$ の間の幅を四分位範囲（IQR：Interquartile Range）と呼びます。データの中央 $50\%$ が収まる幅です。 $$\text{IQR} = Q_3 - Q_1$$ IQRは外れ値の影響を受けにくいばらつきの指標です。最大値・最小値は1つの極端な値で大きく動きますが、$Q_1$ と $Q_3$ は真ん中の50%に注目するので安定しています。

2. 数値例で5数要約を求める

次の11個のデータ（あるサービスの月別問い合わせ件数）で、5数要約を求めてみましょう。すでに小さい順に並んでいます。

35, 42, 48, 50, 55, 58, 60, 63, 68, 72, 150（$n=11$）

中央値（$Q_2$）

$n=11$ は奇数なので、ちょうど真ん中の6番目の値が中央値です。下から数えて6番目は 58。これが $Q_2$ です。

$Q_1$ と $Q_3$

中央値を境に、下半分と上半分に分けます（中央値そのものはどちらにも入れません）。下半分は「35, 42, 48, 50, 55」の5個、その真ん中（3番目）が $Q_1 = \mathbf{48}$。

上半分は「60, 63, 68, 72, 150」の5個、その真ん中が $Q_3 = \mathbf{68}$ です。下半分の中央値がQ1、上半分の中央値がQ3。データを並べて指で押さえながら数えると迷いません。

四分位範囲は $\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 68 - 48 = \mathbf{20}$。中央50%の件数は20件の幅に収まっています。一方で最大値の150は、$Q_3=68$ からずいぶん離れていますね。これが外れ値かどうかを、次のルールで判定します。

3. 外れ値の判定 ─ 1.5×IQR ルール

外れ値（outlier）とは、ほかの多くのデータから極端に離れた値のこと。判定にはいくつか流派がありますが、もっとも広く使われるのが$1.5\times\text{IQR}$ ルールです。$Q_1$ と $Q_3$ から IQR の $1.5$ 倍ぶん外側に「フェンス（柵）」を張り、それを越える値を外れ値とみなします。

数値例での判定

先ほどの例（$Q_1=48,\ Q_3=68,\ \text{IQR}=20$）でフェンスを計算すると、 $$ \begin{aligned} \text{下側フェンス} &= Q_1 - 1.5\times\text{IQR} = 48 - 1.5\times 20 = 48 - 30 = 18\\[2pt] \text{上側フェンス} &= Q_3 + 1.5\times\text{IQR} = 68 + 1.5\times 20 = 68 + 30 = 98 \end{aligned} $$ フェンスは $18$ と $98$。$18$ より小さい値はなく、$98$ より大きい値は 150 だけ。よって150 が外れ値と判定されます。「なんとなく大きすぎる気がする」を、$1.5\times\text{IQR}$ ルールで数値的にきちんと示せました。

なお、$1.5$ という係数は経験的な目安です。3倍以上は極端な外れ値と呼ばれることもあります。また外れ値＝即削除ではない点に注意してください。測定・入力ミスなら修正・除外、本物の特異値なら理由を考えて残す──「なぜこの値だけ違うのか?」を問うことが大切です。

4. 箱ひげ図との対応

5数要約と外れ値を、そのまま1つの絵にしたのが箱ひげ図（box plot）です。各パーツが5数要約のどこに対応するかを押さえれば、図と数字が一本につながります。

先ほどのデータを箱ひげ図にすると、こうなります。150が「ひげの外の点」として描かれている点に注目してください。ひげの右端は外れ値を除いた最大値、つまり72で止まります。

箱ひげ図では箱＝IQR、ひげ＝外れ値を除いた範囲、点＝外れ値。複数のグループを並べると分布の違いがひと目で比べられます。ただし多峰性は箱ひげ図では見えない（山が1つか2つかは判別できない）ので、ヒストグラムと併用するのが安全です。

次回 1-8 質的データの要約 では、カテゴリのデータを度数・相対度数・度数分布表でまとめ、棒グラフ・円グラフ・帯グラフで見せる方法と、それぞれの用途・注意点を整理します。

さえ

5数要約・IQR・$1.5\times\text{IQR}$ ルール・箱ひげ図、ぜんぶ一本につながったね！　外れ値を見つけても、消す前に「なんで?」って考えるのが上達のコツだよ。次は質的データの要約に進むよ！