変数の変換と平均値、分散、標準偏差

1. 規模の違いを越えて比べたい

日常生活では、規模や単位の違うデータを比較したい場面がよくあります。たとえばこんな状況：

これらの問いには、「生の数字をそのまま比べてはいけない」という共通点があります。テストの平均や標準偏差が違えば、85点と75点の意味は変わってきます。同じ50万円でも、平均500万円の支店と平均200万円の支店では、散らばりの「重み」が違います。

こうした規模や単位の違いを越えて比較するための道具が、これから学ぶzスコアと変動係数です。

2. データの標準化 ─ zスコア

データの標準化とは、データを変換して、「平均0、標準偏差1」という共通の物差しに乗せ替える操作です。これによって得られた値をzスコアと呼びます。

計算式

zスコアの読み方

zスコアは「平均から、標準偏差の何個分離れているか」を表します。

• z ＝ 0 → 平均と同じ値
• z ＝ +1 → 平均より標準偏差1個分上
• z ＝ +2 → 平均より標準偏差2個分上（かなり高い）
• z ＝ −1 → 平均より標準偏差1個分下
• z ＝ −2 → 平均より標準偏差2個分下（かなり低い）

標準化後のデータは、必ず平均が0、標準偏差が1になるという性質があります。元のデータがどんな単位でも、どんな規模でも、同じ「物差し」に揃えられるのが zスコアの威力です。

さえ

偏差値（50を基準にしたやつ）も、実はzスコアを使って計算してるんだよ! 「偏差値 = 50 + 10×z」っていう変換をしてるだけ。zスコアがわかれば、偏差値の意味もスッキリわかるね!

3. zスコアで異なるテストの成績を比較する

zスコアの真価が発揮されるのは、異なるスケールのデータ同士を比較する場面です。点数も平均も標準偏差も違う、2つのテストの成績を比べてみましょう。

この例題が示しているのは、「絶対値での比較は、規模が違うとミスリードする」という事実です。zスコアを使えば、平均や散らばりの違うテスト同士でも、フェアに「順位的な意味での成績」を比較できます。

4. 変動係数 ─ 散らばりを相対的に見る

zスコアが「個別データの相対化」だったのに対し、変動係数（CV：Coefficient of Variation）は「データセット全体の散らばりの相対化」です。標準偏差を平均値で割って求めます。

計算式

変動係数を使う理由

標準偏差は、データの散らばりを絶対値として表します。たとえば標準偏差が50万円と聞いて「大きい」「小さい」を判断できるでしょうか? それは平均がいくらかによります。

• 平均500万円のデータで標準偏差50万円 → 平均の10%の散らばり
• 平均100万円のデータで標準偏差50万円 → 平均の50%の散らばり

同じ50万円でも、後者のほうが「相対的にずっと大きく散らばっている」と言えます。これを数値化したものが変動係数です。

変動係数の使いどころ

変動係数は、規模や単位の異なるデータの散らばりを比較したいときに威力を発揮します。

• 異なる規模の店舗・部署・支店の売上のばらつき比較
• 異なる単位のデータ（身長cm vs 体重kg など）の散らばり比較
• 異なる業界・業種の業績変動の比較
• 投資商品のリスク比較（リターンに対する変動の大きさ）

ただし注意点として、平均値が0に近い、または0を含むデータでは変動係数は意味をなさなくなります（割り算が破綻するため）。気温や利益（赤字を含む）など、ゼロや負の値があるデータには使えません。

さえ

標準偏差だけ見て「Aの方が変動が大きい!」って判断しちゃうの、よくある落とし穴。「規模が違うかも?」って思ったら、変動係数の出番だよ!

まとめ

今回のポイントを整理しておきましょう。

• zスコア：(データの値 − 平均値) ÷ 標準偏差。個別データを共通の物差しに乗せ替える
• zスコアの性質：標準化後の平均は0、標準偏差は1。単位がない
• zスコアの活用：異なるスケールのデータを公平に比較できる（教科の成績、テスト結果など）
• 変動係数：標準偏差 ÷ 平均値。データセット全体の散らばりを相対化
• 変動係数の活用：規模の違うデータの「散らばりの度合い」を比較できる

zスコアと変動係数──どちらも「相対化」がキーワードです。生の数字だけを見ていると、規模や単位に惑わされて誤った判断をしてしまうことがあります。両方の道具を使い分けることで、データを公平に評価できるようになります。次回は、第3章ファイナル「探索的データ解析法と外れ値」に進みます。