分位数と5数要約

1. ヒストグラムと累積度数分布を並べて見る

まずは、前回までに使ってきた「20人の数学のテスト点数」のデータをもう一度思い出してください。

ヒストグラムが見せるもの

この表をヒストグラムにすると、各階級にどれだけのデータが入っているかが見えます。

ヒストグラムは「各階級に何人いるか」を一目で示してくれます。山の頂上は60〜80未満（6人）にあり、低い点数の人もそれなりにいる、という分布の形が読めますね。

累積度数分布が見せるもの

では、ここで視点を変えてみましょう。「○○点以下の人は全体の何%か?」と問われたら、表の累積相対度数の列を見れば答えられます。これをそのままグラフにしたものが累積度数分布（または累積相対度数分布）です。

この図の各バーの高さは、「その階級の上端より下には全体の何%が含まれているか」を表しています。たとえば3本目のバーの高さが50%なのは、「60点未満には全体の50%（10人）がいる」ことを示しているのです。

2つのグラフを並べて読む

ヒストグラムと累積度数分布は、見せたい情報が違います。

つまり、累積度数分布があれば、「○○%の位置にある値は何点か?」という問いに答えられるようになります。これが、これから学ぶ分位数の正体です。

さえ

累積って、要するに「上から順に足していく」だけ。難しく考えなくて大丈夫! 「○○以下が何%か」を見せるグラフ、それが累積度数分布なんだよ。

2. 累積分布から「分位数」を発見する

累積度数分布の使い方が見えてきたら、次の問いはとても自然です。「累積で50%の位置にある値は何点か?」「25%の位置は?」「75%の位置は?」──こうした「○○%の位置にある値」を分位数と呼びます。

分位数とは

分位数とは、データを小さい順に並べたときに、ある割合の位置にある値のことです。「データを○等分する区切りの値」と考えるとわかりやすいでしょう。

• データを4等分する3つの値 → 四分位数
• データを10等分する9つの値 → 十分位数
• データを100等分する99つの値 → パーセンタイル（百分位数）

3級でもっとも重要なのは四分位数です。データを4等分するために必要な3つの値、それぞれに名前がついています。

四分位数 ─ データを4等分する3つの値

四分位数は、累積分布で見たときに次の3つの位置にある値として定義されます。

第2四分位数 = 中央値であることに注意してください。「真ん中の値」のことを、文脈によって「中央値」と呼んだり「第2四分位数」と呼んだりしますが、まったく同じ値を指しています。

累積分布で四分位数を読み取る

実際に累積分布から四分位数を読み取ってみましょう。先ほどの20人のテスト点数の累積分布を、もう一度見てみます。

この表から、累積分布で「25%」「50%」「75%」の高さに対応する横軸の値がどこにあるかが読み取れます。これがそれぞれ Q1、Q2、Q3 です。

実際の値が階級の境界とぴったり一致しないこともあります（上の表では75%は60点と80点の間にあります）。そのときは個別データから計算するか、補間で求めますが、これは2-6 箱ひげ図でExcelを使って一気に確認します。今は「累積分布で○○%の高さに対応する値が分位数」という関係さえ押さえてください。

さえ

累積分布で「ここまでで50%」って読める位置の点数が中央値。「25%」が第1四分位数、「75%」が第3四分位数。覚えるというより、「分布の中にある区切り」って感覚でつかんでね!

3. 5数要約 ─ 分布を5つの数字でつかむ

四分位数（Q1、Q2、Q3）に、データの最小値と最大値を加えた合計5つの数字で、データの分布をかなり的確にとらえられます。これが5数要約です。

5数要約の構成

要するに、累積分布で「0%、25%、50%、75%、100%」の5つの位置にある値を集めたものが5数要約です。データを4等分すると、区切りは3本（Q1, Q2, Q3）になりますが、両端（最小・最大）も加えれば、データ全体を5つの数字で代表させられる、というわけですね。

例：20人のテスト点数の5数要約

実際に、これまで使ってきた20人のテスト点数（12, 25, 28, 35, 38, 42, 45, 50, 55, 58, 62, 65, 70, 72, 75, 78, 80, 85, 90, 95）の5数要約を求めると、次のようになります。

この5つの数字だけで、こんなことが言えます。

• テストの真ん中の点数は60点（中央値）
• 真ん中の50%（10人分）は、40点〜76.5点の間に収まっている（Q1〜Q3）
• 最低点は12点、最高点は95点
• 下半分（Q1〜中央値）よりも、上半分（中央値〜Q3）のほうが幅が広いので、上に少し裾を引いた分布かもしれない

たった5つの数字なのに、これだけのことが読めるんです。5数要約は、分布の中心・広がり・偏りをまとめてつかむのに最適です。

四分位範囲（IQR）─ ばらつきの指標

Q1とQ3の間の幅を四分位範囲（IQR：Interquartile Range）と呼びます。データの中央50%が収まる範囲のことです。

上のテスト点数なら、IQR = 76.5 − 40 = 36.5点。「真ん中の半分の人たち」の点数の幅が36.5点ある、と読みます。

四分位範囲は、外れ値の影響を受けにくいばらつきの指標です。最大値や最小値は1つでも極端な値があると大きく動きますが、Q1とQ3はデータの真ん中の50%に集中しているので安定しています。詳しくは2-5 データの散らばりで扱います。

5数要約はExcelで一発計算

5数要約はExcelの関数を使えば一瞬で計算できます。次回の2-6 箱ひげ図で、ExcelのQUARTILE関数やMIN/MAX関数を使って、実際のデータから5数要約を求める演習を行います。さらに、その5数要約をひと目で表現する箱ひげ図のつくり方も学びます。今回つかんだ概念が、次回でしっかり定着しますので、楽しみにしてください。

さえ

2-6でExcelを使うから、実際の計算は心配しないで! 今回は「累積分布から5つの位置を抜き出すと5数要約」って感覚をつかめれば、それで十分だよ!

まとめ

今回のポイントを整理しておきましょう。

• ヒストグラムは各階級の度数、累積度数分布はある値以下の累計を示す
• 分位数とは、累積分布で「○○%の位置にある値」のこと
• 四分位数はデータを4等分する3つの値：Q1（25%）、Q2（中央値、50%）、Q3（75%）
• 5数要約＝ 最小値・Q1・中央値・Q3・最大値の5つの数字で、分布全体をつかむ
• 四分位範囲（IQR）＝ Q3 − Q1。中央50%の幅。外れ値の影響を受けにくいばらつき指標

累積度数分布という視点を持つと、分位数や5数要約の意味がスッと見えてきます。次回は「データの散らばり」を、もう少し深く掘り下げていきます。