2標本：母平均の差の検定 — z・プールt・Welch・対応あり

選び方の流れは──(1) まず「2標本はペアで結びつくか？」を見る。結びつくなら対応あり（§5へ）。(2) 対応なしなら「母分散は既知か？」。既知なら $z$ 検定。(3) 未知なら「2群の分散は等しいとみなせるか？」。等しければプール $t$、等しくなければWelch。この順で判定すれば迷いません。

差の標準誤差は $\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}$。帰無仮説 $H_0:\mu_1-\mu_2=0$ のもとで $$Z = \frac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}}\ \sim\ N(0,1)$$ 標準正規の点 $z_{\alpha/2}$（両側 $5\%$ なら $1.96$）と比べて判定します。

プールした分散 $$s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$$ を使って、帰無仮説 $H_0:\mu_1-\mu_2=0$ のもとで $$t = \frac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}}\ \sim\ t_{\,n_1+n_2-2}$$ 自由度は $n_1+n_2-2$（各群で1つずつ平均を推定したぶん $2$ 減る）です。

帰無仮説 $H_0:\mu_1-\mu_2=0$ のもとで $$t = \frac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}}}$$ 近似自由度は $$\nu = \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^{2}}{\dfrac{1}{n_1-1}\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}\right)^{2}+\dfrac{1}{n_2-1}\left(\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^{2}}$$ （$\nu$ は通常は小数になるので、切り捨てて $t$ 分布表を引くか、そのまま補間します。）

プール $t$ とWelch $t$ で、分子（$\bar{X}_1-\bar{X}_2$）はまったく同じ。違うのは標準誤差の作り方と自由度だけです。等分散が怪しいときに無理にプールすると検定が不正確になるので、迷ったらWelchのほうが安全だと覚えておきましょう。

対応があるときは、ペアごとに差 $D_i = X_i - Y_i$ を取り、1つの変数として扱うのがコツ。すると「差 $D$ の母平均 $\mu_D$ が $0$ かを検定する」という、ただの1標本 $t$ 検定（4-4）に早変わりします。2標本の難しさが消えるのです。

差 $D_i=X_i-Y_i$ の標本平均を $\bar{D}$、不偏分散を $s_D^2$、ペア数を $n$ とすると、帰無仮説 $H_0:\mu_D=0$ のもとで $$t = \frac{\bar{D}-0}{s_D/\sqrt{n}}\ \sim\ t_{\,n-1}$$ 自由度は $n-1$（差のデータは $n$ 個）です。

判定は検定統計量を棄却点と比べるだけ。両側なら $|Z|>z_{\alpha/2}$、$|t|>t_{\alpha/2}$ で棄却します。これは区間推定（3-10）で「区間が $0$ を含むか」を見るのと表裏一体──含まない＝棄却、含む＝棄却できない、と一致します。