確率変数と確率分布 — 離散・連続と分布関数

確率変数には2つのタイプがあります。とびとびの値しかとらない離散型（サイコロの出目、コインの表の枚数、不良品の個数など）と、ある区間の値を連続的にとりうる連続型（身長、待ち時間、測定誤差など）です。どちらの型かで、確率の表し方がガラッと変わります。

$$p(x_i) = P(X = x_i)$$ と書き、これを確率質量関数（probability mass function, pmf）と呼びます。「それぞれの値にどれだけの確率の重さ（mass）が乗っているか」を表す関数、というイメージです。

読み方：左辺は「ピー・エックス・アイ」、右辺は「確率変数 $X$ が値 $x_i$ をとる確率」。大文字の $P(\ )$ は「〜となる確率」を表す記号で、小文字の $p(\ )$ はその確率を値ごとに並べた関数です。

$$p(x_i) \ge 0, \qquad \sum_{i=1}^{n} p(x_i) = 1$$ 各確率は $0$ 以上で、すべての値について足し合わせるとちょうど $1$。確率の重さを全部集めると $1$ になる、というのは直感どおりですね。

読み方：$\sum$ は「シグマ」。下の $i=1$ から上の $n$ まで $i$ を動かしながら、右側の $p(x_i)$ を足していく、という合図です。「シグマ・アイ・イコール・ワンから・エヌまでの・ピー・エックス・アイ」と読みます。

連続型の確率変数 $X$ に対し、確率密度関数（probability density function, pdf）$f(x)$ を使って、$X$ が区間 $[a,b]$ に入る確率を次のように表します。 $$P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} f(x)\, dx$$ つまり、密度曲線 $f(x)$ と $x$ 軸ではさまれた面積が確率になります。

読み方：左辺は「$X$ が $a$ 以上 $b$ 以下となる確率」。右辺の $\int$ は「インテグラル」で、下の $a$ から上の $b$ まで $f(x)$（エフ・エックス）を $x$ で積分する、と読みます。末尾の $dx$（ディー・エックス）は「$x$ について積分する」という目印で、それ自体に値はありません。

pdf も、pmf と対応する2つの性質を満たします。 $$f(x) \ge 0, \qquad \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 1$$ 密度は負にならず、全範囲で積分すると面積はちょうど $1$。離散の $\sum p(x_i)=1$ が、連続では「全体の面積 $=1$」に対応しているわけです。

読み方：$\infty$ は「無限大」、$-\infty$ は「マイナス無限大」。$\int_{-\infty}^{\infty}$ は「マイナス無限大から無限大まで」、つまり数直線の全範囲にわたって積分する、という意味です。

連続型では、一点の確率は $0$ です（$P(X=a)=0$）。そのため $P(a\le X\le b)$ と $P(a < X < b)$ は等しくなります。等号がついていてもいなくても面積は同じ。ここは2級でよく問われる、連続型ならではの感覚です。

$$F(x) = P(X \le x)$$ 離散型なら $x$ 以下の確率を足し集め、連続型なら $-\infty$ から $x$ まで面積を積分します。 $$F(x) = \sum_{x_i \le x} p(x_i), \qquad F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\, dt$$

読み方：$F(x)$ は「大文字のエフ・エックス」で、「$X$ が $x$ 以下となる確率」。密度の小文字 $f$ と区別してください。左の $\sum_{x_i \le x}$ は「$x$ 以下の $x_i$ について足す」。右の積分では、上端の $x$ と中身の文字がかぶらないように、中身を仮の文字 $t$（ティー）に置き換えています。$f(t)\,dt$ は「エフ・ティー・ディー・ティー」です。

$F(x)$ の性質は3つ。(1) 値はつねに $0 \le F(x) \le 1$。(2) 単調に増加する（減らない）。(3) 両端では $$\lim_{x\to-\infty}F(x)=0, \qquad \lim_{x\to\infty}F(x)=1$$ $\lim$ は「リミット」で、「$x$ をマイナス無限大に近づけたときの $F(x)$ の極限」と読みます。離散型では確率が乗っている値のところで $F$ が段差状に「ジャンプ」し、連続型ではなめらかな曲線になります。