ローレンツ曲線とジニ係数

1. なぜ「不平等」を測る道具が必要なのか

2つの町を考えてみましょう。どちらも住民の平均所得は同じ300万円です。でも、A町は全員がほぼ300万円ずつ。B町は大半が低所得で、ごく一部の大富豪が平均を押し上げている。平均は同じなのに、暮らしの実感はまるで違います。

この「違い」を数字でとらえたいのが、不平等度の指標です。標準偏差でもばらつきは測れますが、所得や資産のように「全体のうち、上位の何割が、全体の何割を握っているか」を見たいときには、累積の割合に注目する専用の道具のほうが直感的です。それがローレンツ曲線です。

ローレンツ曲線のアイデア

ローレンツ曲線は、次の2つの「累積の割合」を対応させてプロットした曲線です。

• 横軸：所得の低い人から順に並べたときの人数の累積割合（下位何%の人か）
• 縦軸：その人たちが受け取っている所得の累積割合（全所得の何%か）

たとえば「所得の低いほうから40%の世帯が、全所得の15%しか持っていない」なら、点 $(0.4,\ 0.15)$ を打つ、という具合です。これを下位から上位まで並べて結んだ折れ線（曲線）が、ローレンツ曲線になります。

2. 完全平等線 ─ 5人全員が200万円だったら

まず基準になる線を、具体的な数字でつくってみましょう。5人の給与が全員200万円（合計1000万円）だったとします。給与の低い人から順に足していくと、次の表になります。

1人（20%）で全体の20%、2人（40%）で40%……と、横軸と縦軸の値がいつも等しくなります。この点を結ぶと、原点から右上の角 $(1,\,1)$ へ向かう45度の直線になります。これが完全平等線（$y=x$）です。

給与に差があると、線は下にたるむ

次に、同じ5人の給与が 50、100、150、200、500万円（合計はやはり1000万円）だったとします。低い順に足していくと、表はこう変わります。

1人（20%）で全体の5%、2人（40%）で15%……と、縦軸が横軸に追いつきません。この点を原点から順に結んだ折れ線がローレンツ曲線です。低い人ほど人数の割に給与が少ないので、曲線は必ず完全平等線の下側にたるみます。

たるみが大きいほど不平等が大きい。これがローレンツ曲線の読み方の核心です。下の図で、破線が完全平等線（全員200万円）、実線がローレンツ曲線（差がある場合）です。

2本の線で挟まれた色のついた部分（面積 $A$）が「平等からのズレ」です。全員200万円なら5つの点はすべて完全平等線の上に乗り、$A=0$ になります。

3. ジニ係数の定義

ローレンツ曲線の「たるみ具合」を1つの数字にしたのがジニ係数です。発案者の名前（ジニ）から来ています。定義はとてもシンプルで、完全平等線とローレンツ曲線で挟まれた面積 $A$ を使って次のように書けます。

ジニ係数の範囲と読み方

ジニ係数は必ず $0$ 以上 $1$ 以下の値を取ります。両端の意味をつかんでおきましょう。

実際の国の所得ジニ係数は、おおむね $0.25$〜$0.6$ あたりに収まります。$0$ や $1$ はあくまで理論上の両端で、現実には出てこない、と覚えておくとよいでしょう。

4. 数値例：台形近似でジニ係数を計算する

では、2節の5人（給与 50、100、150、200、500万円）でジニ係数を実際に計算してみましょう。

ステップ1：累積割合を求める

5人なので、人数の累積割合 $x$ は1人ごとに $0.2$ ずつ増えます。給与は低い人から足していき、合計 $1000$ で割って累積割合 $y$ にします。2節の表から、点は次の6つです。

この6点を順に結んだ折れ線が、先ほどの図のローレンツ曲線です。

ステップ2：曲線の下の面積 $B$ を台形で求める

隣り合う2点の間は直線でつながっているので、曲線の下は5つの台形に分かれます。台形の面積は（上底＋下底）÷ 2 × 幅。「上底・下底」は左右の点の $y$、「幅」は $x$ の刻みで、つねに $0.2$ です。

ステップ3：$A$ を出してジニ係数へ

三角形全体の面積は $0.5$ なので、平等線と曲線で挟まれた面積 $A$ は「全体 $-$ 曲線の下」で出ます。あとは $2A$ を計算するだけです。

この5人のジニ係数は 0.40。$0$（完全平等）と $1$（完全不平等）のあいだの、やや不平等寄りです。最も給与の高い1人（全体の20%）が、全給与の半分（$1.00-0.50=0.50$）を占めていることが、たるみの大きさに表れています。

計算の流れは累積割合をつくる → 台形で面積を足す → 全体から引く → 2倍するの4手順。台形の幅は人数が等しい組なら一定（ここでは $0.2$）なので、上底＋下底をどんどん足していくだけです。試験でもこの手順がそのまま使えます。

5. 使いどころと注意点

ローレンツ曲線とジニ係数は、所得だけでなく資産・売上・市場シェアなど「一部に集中しているか」を見たいあらゆる場面で使えます。たとえば「上位2割の顧客が売上の8割を占める」といった集中度の議論も、同じ枠組みで扱えます。

便利な一方で、いくつか気をつけたい点があります。

• 1つの数字に圧縮しているので、同じジニ係数でも曲線の形は異なりうる（どの層で偏っているか）。可能なら曲線そのものも見るのが安全です。
• マイナスの値には使えません。所得に赤字（負）が混じると累積シェアの考え方が崩れます。
• 台形近似は区切りが粗いと面積を小さめに見積もる傾向があります。世帯数（区切り）が多いほど、真の曲線に近づき正確になります。

次回 1-6 標準化・変動係数・指数化 では、単位や規模の違うデータを同じ物差しに乗せて比べる方法を学びます。zスコア・偏差値・変動係数・指数化と、実務でも頻出の道具がそろい踏みです。

さえ

ジニ係数、ちゃんと自分の手で $0.40$ まで出せたね！　「全員200万円なら45度線」を思い出せば、完全平等線はもう忘れないよ。　「曲線のたるみ＝面積 $A$」「ジニ係数＝$2A$」のセットさえ覚えておけば大丈夫。次は単位の違うデータを比べる『標準化』を学ぶよ！