正規分布の確率計算
いよいよ第7章のラストです。前回までで二項分布と正規分布の形と性質を学びました。今回はその応用編、正規分布から確率を実際に計算する方法を整理します。
本ページのキーワードは5つ。標準正規分布表(試験で使われる分布表の読み方)、Excel関数 NORM.S.DIST(実務で使う計算法)、一般の正規分布の確率(標準化を使った計算)、二項分布の正規近似、そして正規分布の和と差です。
確率計算は、「曲線の下の面積を求める」という発想が肝心。図で何度もこのイメージを確認しながら進めていきましょう。
ここは確率計算という具体的な作業だから、手を動かして覚えるのがコツ！ 補助資料のExcelも使って、計算してみてね！ Excelで覚えると忘れないよ！
1. 標準正規分布の確率 ─ 「面積」で考える
連続型確率変数では、「特定の値を取る確率」には意味がなく、「ある範囲に入る確率」を考えるのでした(7-1)。これは正規分布でも同じ。曲線の下の面積がそのまま確率になります。
例：Z ≤ 1.5 の確率
標準正規分布 N(0, 1) で、Z が 1.5 以下になる確率を求めることを考えます。これは曲線の左から Z = 1.5 までの面積です。
P(Z ≤ 1.5) = 曲線の左から Z=1.5 までの面積 ≒ 0.9332
標準正規分布表とは
この面積（確率）の値は、標準正規分布表であらかじめ計算されています。試験では問題用紙に一覧表が添付されるので、表から値を読み取ります。一覧表は、Excel補助資料にもNORM.S.DIST（ノーマル・スタンダード・ディストリビューション）関数を使って作成したので、参考にしてください。
試験で使われる標準正規分布表は、多くの場合 P(0 ≤ Z ≤ z)(中央 0 から z までの面積)が記載されています。これは標準正規分布が左右対称なので、右半分の面積さえわかれば全体が計算できるからです。
標準正規分布表の使い方(基本)
よく出てくる値を表で確認しておきましょう。
| z | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 1.96 | 2.0 | 2.5 | 3.0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| P(0 ≤ Z ≤ z) | 0.1915 | 0.3413 | 0.4332 | 0.4750 | 0.4772 | 0.4938 | 0.4987 |
4つの典型計算パターン
標準正規分布表を使った計算には、4つの典型パターンがあります。すべて「対称性」と「左半分は0.5」の2つを使えば求められます。
① P(0 ≤ Z ≤ a) → 表から直接読む
例：P(0 ≤ Z ≤ 1.5) = 0.4332 ※ 平均から1.5までの面積
② P(Z ≤ a) → 0.5 + 表の値（aが正の場合）
例：P(Z ≤ 1.5) = 0.5 + 0.4332 = 0.9332 ※ 左すそから平均までが0.5。それに①を足した値
③ P(Z ≥ a) → 0.5 − 表の値（aが正の場合）
例：P(Z ≥ 1.5) = 0.5 − 0.4332 = 0.0668 ※ 右すその1.5以降の面積
④ P(a ≤ Z ≤ b) → 表の値の引き算（同符号の場合）/ 足し算（異符号の場合）
例：P(0.5 ≤ Z ≤ 1.5) = 0.4332 − 0.1915 = 0.2417 ※ 0.5から1.5までの面積
標準正規分布表を使う問題は、釣鐘曲線の絵を描いて「どこの面積か」を確認するのが間違い防止のコツ。「足すのか引くのか」「0.5を加えるのか減らすのか」が、図を描けばすぐわかります。
2. Excelで確率を計算する ─ NORM.S.DIST関数
実務では、標準正規分布表を見るより、Excelの関数のほうが圧倒的に楽です。3級の試験では分布表を使いますが、計算の理解を深めるためにExcelも触れておきましょう。
NORM.S.DIST関数の基本
=NORM.S.DIST(z, TRUE)
標準正規分布で P(Z ≤ z) を返す
(S = Standard、関数名は「ノーマル・スタンダード・ディストリビューション または ノルム・エス・ディスト」と読みます)
第2引数に TRUE を入れることで、累積確率(左からの面積)が返ります。FALSE を入れると密度の値(曲線の高さ)が返るので、3級では基本 TRUE を使うと覚えてください。
使用例
| 求めたい確率 | Excel式 | 結果 |
|---|---|---|
| P(Z ≤ 1.5) | =NORM.S.DIST(1.5, TRUE) | 0.9332 |
| P(Z ≤ -1) | =NORM.S.DIST(-1, TRUE) | 0.1587 |
| P(Z ≤ 1.96) | =NORM.S.DIST(1.96, TRUE) | 0.9750 |
| P(Z ≥ 2) | =1-NORM.S.DIST(2, TRUE) | 0.0228 |
| P(-1 ≤ Z ≤ 1) | =NORM.S.DIST(1,TRUE)-NORM.S.DIST(-1,TRUE) | 0.6827 |
| P(-2 ≤ Z ≤ 2) | =NORM.S.DIST(2,TRUE)-NORM.S.DIST(-2,TRUE) | 0.9545 |
最後の P(-1 ≤ Z ≤ 1) ≒ 0.6827 と P(-2 ≤ Z ≤ 2) ≒ 0.9545 は、前回学んだ68-95-99.7ルールの正確な値です。「約68%」「約95%」とは、ここから来ていたんですね。
Excelで NORM.S.DIST を覚えておけば、標準正規分布の確率はいくらでも計算できます。負の値もそのまま入れられるので、表を使うより断然便利です。試験では分布表を使うのが基本ですが、実務での計算はExcelに任せましょう。
3. 一般の正規分布の確率 ─ 標準化を使う
確率を求めたい正規分布が N(0, 1) ではない一般の正規分布のときは、標準化(7-3で学習)を使います。
計算の流れ
- 確率変数 X を標準化：Z = (X − μ) / σ
- 知りたい範囲を、Z の範囲に変換
- 標準正規分布の確率として求める
具体例：身長の問題
日本人男性の身長が N(170, 36) (μ=170cm、σ=6cm)に従うとします。身長が176cm以上の人の割合を求めてください。
解答
X を身長として、求めたいのは P(X ≥ 176)。標準化のステップを順に進めます。
ステップ1：標準化
X = 176 を Z に変換します。
Z = (176 − 170) / 6 = 1.0
ステップ2：Z の範囲に変換
X ≥ 176 は Z ≥ 1.0 と同じこと。
ステップ3：確率を求める
P(Z ≥ 1.0) = 0.5 − P(0 ≤ Z ≤ 1.0) = 0.5 − 0.3413 = 0.1587（約15.87%）
日本人男性のうち、身長176cm以上の人は約16%です。前回 7-3 で「Lサイズの会員は約16%」と計算したのと一致しますね。
Excelで一発計算
Excelでは、わざわざ標準化しなくても、NORM.DIST関数を使えば一発で計算できます。
=NORM.DIST(x, μ, σ, TRUE)
正規分布 N(μ, σ²) で P(X ≤ x) を返す
(関数名は「ノルム・ディスト」、S（Standard）が抜けているのがポイント)
先ほどの身長の例なら：
P(X ≥ 176) = 1 − P(X ≤ 176) = =1 - NORM.DIST(176, 170, 6, TRUE) ≒ 0.1587
標準化なしで、いきなり結果が出ます。第3引数は標準偏差(σ)で、分散(σ²)ではないので注意してください。
試験では標準化して標準正規分布表を使う、実務では NORM.DIST 関数で一発計算。場面で使い分けられると最強です。
4. 二項分布の正規近似
最後に、前回 7-3 の最後で予告した二項分布の正規近似です。
正規近似とは
二項分布 B(n, p) で n が大きいとき、その分布は正規分布で近似できます。
n が十分大きいとき、
B(n, p) ≒ N(np, np(1-p))
期待値 np と分散 np(1-p) を持つ正規分布で、二項分布の確率が近似できる、ということです。直接計算が大変な二項分布の問題が、正規分布の確率計算に置き換わる。これが正規近似の威力です。
具体例：コイン100回投げ
コインを100回投げて、表が出る回数 X を考えます。X が二項分布 B(100, 0.5) に従うとき、X が60以上になる確率を求めてください(正規近似を使います)。
解答
ステップ1：近似する正規分布を決める
- 期待値：np = 100 × 0.5 = 50
- 分散：np(1-p) = 100 × 0.5 × 0.5 = 25
- 標準偏差：σ = √25 = 5
- 近似する分布：N(50, 25) (μ=50, σ=5)
ステップ2：標準化
Z = (60 − 50) / 5 = 2.0
ステップ3：確率を求める
P(X ≥ 60) ≒ P(Z ≥ 2.0) = 0.5 − 0.4772 = 0.0228（約2.28%）
コインを100回投げて、表が60回以上出るのは約2.28%(50回に1回くらい)。意外とレアなことだとわかりますね。
Excelでも確認
Excelで NORM.DIST を使って同じ計算をしてみると：
=1 - NORM.DIST(60, 50, 5, TRUE) ≒ 0.0228
ぴったり一致します。直接二項分布で計算した正確な値は約0.0284なので、正規近似の精度はかなり高いことがわかります(誤差は0.0056ほど)。
二項分布の正規近似は、n が大きく、p が0.5に近いほど精度が良くなる。3級の問題では、近似で計算するか、二項分布の式で直接計算するか、問題の指示に従うのが大事です。
統計検定3級 - 二項分布の正規近似の練習
この正規近似は、試験でほぼ毎回のように出題される頻出パターンです。流れは「① 平均 np と分散 np(1−p) を出す → ② 標準化 → ③ 正規分布表で確率を読む」の3ステップ。同じ手順で2問、実戦練習しておきましょう。
ある万歩計は、歩くたびに10回に1回の割合で歩数をカウントします(各歩でカウントされるかどうかは独立)。1000歩あるいたとき、110回以上カウントされる確率を、正規近似で求めてください。
解答を見る
ステップ1：平均・分散・標準偏差を出す
カウント回数 X は二項分布 B(1000, 0.1) に従います。
- 平均：μ = np = 1000 × 0.1 = 100
- 分散：σ² = np(1−p) = 1000 × 0.1 × 0.9 = 90
- 標準偏差：σ = √90 ≒ 9.49
ステップ2：標準化する
Z = (110 − 100) / √90 = 10 / 9.49 ≒ 1.05
ステップ3：確率を読む
求めたいのは P(X ≥ 110) ≒ P(Z ≥ 1.05)。標準正規分布表より P(0 ≤ Z ≤ 1.05) ≒ 0.3531 なので、
P(Z ≥ 1.05) = 0.5 − 0.3531 = 0.1469(約14.7%)
1000歩あるけば、平均100回カウント。それより1割多い110回以上になるのは、約15%くらいというわけですね。
100問の正誤(〇×)問題を、すべてあてずっぽうで答えます(1問正解する確率は 1/2、各問独立)。58問以上正解する確率を、正規近似で求めてください。
解答を見る
ステップ1：平均・分散・標準偏差を出す
正解数 X は二項分布 B(100, 0.5) に従います。
- 平均：μ = np = 100 × 0.5 = 50
- 分散：σ² = np(1−p) = 100 × 0.5 × 0.5 = 25
- 標準偏差：σ = √25 = 5
ステップ2：標準化する
Z = (58 − 50) / 5 = 8 / 5 = 1.6
ステップ3：確率を読む
P(X ≥ 58) ≒ P(Z ≥ 1.6)。標準正規分布表より P(0 ≤ Z ≤ 1.6) = 0.4452 なので、
P(Z ≥ 1.6) = 0.5 − 0.4452 = 0.0548(約5.5%)
あてずっぽうで58問も当てるのは、約5.5%のレアケース。「まぐれで6割近く取る」のは、そうそう起きないとわかりますね。
正規近似でありがちなミスは2つ！ ①分散を np だけにして (1−p) を掛け忘れる、②標準偏差にするとき √ を忘れる。分散は必ず np(1−p)、標準偏差はそれに √ だよ！ σ がきれいな数字(例②なら √25＝5)になったら、たいてい計算は合ってるサイン！
5. 正規分布の和と差
正規分布には、もうひとつ試験頻出の性質があります。独立した正規分布どうしを足したり引いたりすると、その結果もまた正規分布になるという性質です。「合計」や「差」の分布をつくってから標準化する、という流れで解きます。
和と差の平均・分散のルール
独立な正規分布どうしを足す・引くとき：
平均：足し算なら足す、引き算なら引く
分散：足し算でも引き算でも、必ず足す
標準偏差：分散を出してから √ を取る(直接は足せない)
いちばん大事なのは、「標準偏差はそのまま足せない。足せるのは分散」という点です。ばらつきは2乗の世界(分散)で足し合わさるので、標準偏差に戻すには最後に √ を取ります。そして、差をとるときも分散は引かずに足すのがポイント。引き算でもばらつきは増える、と覚えてください。
同じ分布を n 個足すとき
同じ正規分布 N(μ, σ²) を独立に n 個足すと：
合計の平均 = nμ
合計の分散 = nσ²
合計の標準偏差 = √(nσ²) = σ√n(σ × n ではない)
ここでの最頻出ミスが、標準偏差をそのまま n 倍してしまうこと。たとえば標準偏差1.5を9個分にするとき、1.5×9＝13.5 とやったら誤りです。分散(1.5²×9)を出してから √ を取るのが正解。「σ がきれいに割り切れたら、たいてい合っている」を目安にしましょう。
統計検定3級 - 和と差の計算練習
ある人が5秒間に歩く距離は、独立に正規分布 N(6, 0.5²)(平均6m、標準偏差0.5m)に従います。この人が20秒(＝5秒×4回分)で歩く合計距離を X とするとき、X が22m以上になる確率を求めてください。(22mの横断歩道を渡り切れる確率、というイメージです)
解答を見る
ステップ1：合計の分布をつくる
20秒は、5秒の歩行4回分。合計距離 X は N(6, 0.5²) を4個足したものです。
- 平均 = 6 × 4 = 24m
- 分散 = 0.5² × 4 = 0.25 × 4 = 1
- 標準偏差 = √1 = 1m(0.5×4＝2 としないこと)
ステップ2：標準化する
渡り切るには X ≥ 22。
Z = (22 − 24) / 1 = −2
ステップ3：確率を読む
P(X ≥ 22) = P(Z ≥ −2)。左右対称なので P(Z ≥ −2) = P(Z ≤ 2) = 0.9772(約97.7%)。ほぼ確実に渡り切れる、というわけですね。
製品1個の製造時間は、独立に正規分布 N(5, 1.5²)(平均5分、標準偏差1.5分)に従います。9個続けて作るとき、合計時間が54分以内で終わる確率を求めてください。
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ステップ1：合計の分布をつくる
- 平均 = 5 × 9 = 45分
- 分散 = 1.5² × 9 = 2.25 × 9 = 20.25
- 標準偏差 = √20.25 = 4.5分(1.5×9＝13.5 としないこと)
ステップ2：標準化する
Z = (54 − 45) / 4.5 = 9 / 4.5 = 2
ステップ3：確率を読む
P(X ≤ 54) = P(Z ≤ 2) = 0.9772(約97.7%)。9個作っても、たいてい54分以内に収まりますね。
AさんとBさんが別々にリンゴを収穫します。1時間あたりの収穫量は独立で、Aさんは N(20, 3²)、Bさんは N(16, 4²) に従います。ある1時間で、AさんがBさんより多く収穫する確率を求めてください。
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ステップ1：差の分布をつくる
「AがBより多い」は「A − B > 0」と言いかえられます。そこで差 D = A − B の分布を考えます。
- 平均 = 20 − 16 = 4
- 分散 = 3² + 4² = 9 + 16 = 25(引き算でも分散は足す！)
- 標準偏差 = √25 = 5
ステップ2：標準化する
求めたいのは P(D > 0)。
Z = (0 − 4) / 5 = −0.8
ステップ3：確率を読む
P(D > 0) = P(Z > −0.8)。左右対称なので P(Z > −0.8) = P(Z < 0.8) = 0.7881(約79%)。AさんがBさんに勝つのは、およそ8割の時間帯というわけです。
ちなみに「BさんがAさんより多い」確率は 1 − 0.7881 = 約21%。どちらを聞かれているかを取り違えると答えが裏返るので注意しましょう。
ここで超重要ポイント！ 差をとるときも、分散は「引かずに足す」！ これ、本っ当に間違えやすいの！ 「A − B なんだから分散も引くのかな？」と思っちゃうけど、ばらつきは足し引きどちらでも大きくなるから、必ず足すんだよ。そして標準偏差は分散を出してから √！ σを直接n倍しないこと、忘れないでね！
6. 第7章を終えて
第7章「確率変数と確率分布」、おつかれさまでした。最後に章全体を俯瞰しておきましょう。
| 節 | テーマ | 身につけた力 |
|---|---|---|
| 7-1 | 確率変数と確率分布の考え方 | 確率変数という抽象概念、離散型と連続型の区別 |
| 7-2 | 平均・分散・標準偏差 | 期待値、分散、aX+bの線形変換 |
| 7-3 | 二項分布と正規分布 | 2大分布の形と性質、68-95-99.7ルール |
| 7-4 | 本ページ | 標準正規分布表、Excel関数、正規近似、和と差 |
記述統計から確率分布へ
第1〜5章では「目の前のデータをどう要約するか」という記述統計を学び、第6章で確率の世界に入り、そして第7章で確率変数と確率分布に到達しました。確率変数と確率分布の発想は、データを「単なる数字の集まり」ではなく「ばらつきを持つ確率的な存在」として捉える視点を与えてくれます。
この視点こそが、現代のデータサイエンス・機械学習・AIの土台。3級の学習を通して、データを確率的に考える基礎体力を身につけたと言えます。
CHAPTER 7 完了！
第7章「確率変数と確率分布」、ここで完了です。
次は第8章「データの収集」です。第8章はデータの集め方を扱う実用的な章で、クールダウン的に読み進めることができると思います。
第7章コンプリート、おつかれさまでした！ 確率変数・期待値・正規分布・標準化・正規近似。ここは何度も読み返して、Excel補助資料を参考に学習をしてください。感覚をつかむまで時間がかかる章です。読み返した回数分、理解も定着すると思います！