片側・両側検定と2種類の誤り

さえ

検定にも「やらかし」が2種類あるんだ。無実の人を有罪にしちゃう第1種の誤り $\alpha$ と、真犯人を見逃しちゃう第2種の誤り $\beta$。しかもこの2つ、片方を減らすともう片方が増えるシーソー関係! 今日はこの2人の関係を、図でばっちり塗り分けて理解しちゃおう！

1. 片側検定と両側検定

まず棄却域の置き方から。検定統計量が「ここに入ったら $H_0$ を棄却する」と決めた範囲が棄却域、入らない中央部分が採択域(正しくは「$H_0$ を棄却できない領域」)でした。この棄却域を両端に置くか、片側だけに置くかは、対立仮説 $H_1$ の形で決まります。

両側検定 ── $H_1$ が「$\neq$」のとき

対立仮説が「等しくない($\neq$)」のときは両側検定です。たとえば母平均の検定なら

• $H_0:\ \mu = \mu_0$
• $H_1:\ \mu \neq \mu_0$(大きいかもしれないし、小さいかもしれない)

ここで $\mu_0$ は帰無値(比べる基準の値)です。「ズレているか」を左右どちらの向きでも拾いたいので、棄却域を両端に取ります。有意水準 $\alpha=0.05$ なら、左右に $\tfrac{\alpha}{2}=0.025$ ずつ振り分けます。標準正規分布での境界は $\pm 1.96$ です。

片側検定 ── $H_1$ が「$>$」「$<$」のとき

対立仮説が「より大きい($>$)」または「より小さい($<$)」と向きを持つときは片側検定です。新薬が従来薬より効くかを調べるなら

• $H_0:\ \mu = \mu_0$
• $H_1:\ \mu > \mu_0$(従来より大きい、という向きだけに関心)

この場合、棄却域は右側だけ。$\alpha=0.05$ をまるごと片側に割り当てるので、境界は $1.96$ より内側の $1.645$ になります(片側に5%が入る点)。

2. 真実 × 判断の4通り

ここから誤りの話に入ります。検定の結論は「$H_0$ を棄却する／しない」の2通り。一方、神様だけが知る真実も「$H_0$ が正しい／$H_1$ が正しい」の2通り。掛け合わせると4つのマスができ、そのうち2つが「正解」、2つが「誤り」です。

対角線(左下と右上)が正解、逆対角線(左上と右下)が2種類の誤りです。裁判にたとえると、$H_0$ は「被告は無罪」という前提。無実なのに有罪にするのが第1種の誤り、真犯人を取り逃がすのが第2種の誤り、というわけです。

第1種の誤り(あわてんぼうの誤り)

第1種の誤り(type I error)は、本当は $H_0$ が正しいのに、$H_0$ を棄却してしまう誤りです。その確率はちょうど有意水準 $\alpha$ に等しくなります。「ないものを、ある」と早とちりするので「あわてんぼうの誤り」とも呼ばれます。$\alpha$ を自分で決めるということは、この誤りを犯す確率を自分でコントロールしているということなんです。

第2種の誤り(ぼんやりの誤り)

第2種の誤り(type II error)は、本当は $H_1$ が正しい(差がある)のに、$H_0$ を棄却できず見逃してしまう誤りです。その確率を $\beta$(ベータ)で表します。「あるものを、ない」と見落とすので「ぼんやりの誤り」とも。$\alpha$ と違って $\beta$ は自分で直接は決められず、後で見るように $H_1$ の状況しだいで変わります。

3. 検出力 $1-\beta$ ── 差を見抜く力

第2種の誤り $\beta$ の裏返しが検出力です。

検出力は高いほど良い指標です。実務では「検出力80%($1-\beta=0.8$)を確保できる標本サイズを決める」といった使い方をします。$\alpha$ で「冤罪の確率」を抑えつつ、$1-\beta$ で「見逃さない力」を確保する──この両にらみが、良い検定設計のコツです。

4. $\alpha$ と $\beta$ を図で塗り分ける

ここがこのページの山場です。2種類の誤りは、$H_0$ が正しいときの分布と $H_1$ が正しいときの分布を重ねて描くと、塗り分けで一目瞭然になります。

左の山が「$H_0$ が正しい($\mu=\mu_0$)ときの統計量の分布」、右の山が「$H_1$ が正しい($\mu=\mu_1$)ときの分布」。右側に引いた赤い縦線が棄却の境界です。$H_0$ の山のうち境界より右の部分の面積が $\alpha$(本当は $H_0$ なのに棄却してしまう確率)、$H_1$ の山のうち境界より左の部分の面積が $\beta$(本当は $H_1$ なのに棄却できず見逃す確率)。そして $H_1$ の山の境界より右、つまり残りが検出力 $1-\beta$ です。

この図がすべてを語ります。境界線を1本動かすと、$\alpha$ と $\beta$ が同時に逆向きに変わるのが見て取れますね。これが次のトレードオフの正体です。

5. $\alpha$ と $\beta$ のトレードオフ

上の図で、棄却の境界線を右へずらしてみましょう。$H_0$ の山で境界より右の面積($\alpha$)は小さくなります。冤罪は減って一安心。ところが同時に、$H_1$ の山で境界より左の面積($\beta$)は大きくなってしまいます。見逃しが増えるのです。

逆に境界を左へずらせば、$\beta$ は減りますが $\alpha$ が増えます。どちらか一方だけを、$n$ を変えずにタダで減らすことはできない──これが第1種・第2種の誤りのトレードオフです。

数値で確かめる

さえ

「$\alpha$ を厳しくすれば安全」って思いがちだけど、その裏で $\beta$ がこっそり増えてるの! さっきの例だと $\alpha$ を $0.05\to0.01$ にしたら、見逃しが $15\% \to 37\%$ に倍以上! 「冤罪を恐れすぎて真犯人を逃す」みたいな話だね。バランスが大事なんだ。

6. 標本サイズ $n$ と効果の大きさ

トレードオフと聞くと八方ふさがりに見えますが、抜け道があります。標本サイズ $n$ を増やすことです。$n$ を増やすと標準誤差 $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ が小さくなり、2つの山がどちらも細くスリムになる。結果、山どうしの重なりが減って、$\alpha$ を据え置いたまま $\beta$ だけを下げられるのです。これがトレードオフの唯一の正攻法の崩し方です。

もうひとつ検出力を左右するのが効果の大きさ、つまり $\mu_0$ と真の値 $\mu_1$ の離れ具合です。2つの山の中心が大きく離れているほど重なりは小さく、見逃しにくい(検出力が高い)。逆に、ごくわずかな差($\mu_1$ が $\mu_0$ のすぐ隣)は山がべったり重なるので、見抜くには大きな $n$ が必要になります。

まとめ

第4章 4-2、ポイントを整理します。

• 両側検定：$H_1$ が「$\neq$」。棄却域を両端に、$\alpha=0.05$ なら左右 $0.025$ ずつ(境界 $\pm1.96$)
• 片側検定：$H_1$ が「$>$」「$<$」。棄却域は片側だけ($\alpha=0.05$ の境界 $1.645$)。$H_1$ の向きは事前に決める
• 第1種の誤り：本当は $H_0$ なのに棄却。確率は $\alpha$(自分で決められる)
• 第2種の誤り：本当は $H_1$ なのに見逃す。確率は $\beta$
• 検出力：$1-\beta$。差があるときに見抜ける確率。高いほど良い
• トレードオフ：$n$ を固定したまま $\alpha$ を下げると $\beta$ が上がる(シーソー)
• 崩し方：$n$ を増やせば $\alpha$ そのままで $\beta$ を下げられる。効果が大きいほど検出力も高い

次回 4-3 検定統計量の構成 では、ここまで「$z$ 値」とサラッと使ってきた検定統計量がなぜその形なのか──「どんな量を作れば $H_0$ のもとで分布がわかり、判断に使えるのか」を、導出から組み立てます。検定の心臓部です。

さえ

2種類の誤り、2×2の表と重ねた山の図でばっちりだね! 合言葉は「$\alpha$ と $\beta$ はシーソー、$n$ で両方ハッピー」。$\alpha$ は自分で決める、$\beta$ は状況しだい、$1-\beta$ が検出力──このセットを忘れずに。次はいよいよ検定統計量の中身だよ！