母分散・母比率の区間推定 — χ²分布と正規近似

正規母集団 $N(\mu,\sigma^2)$ からの標本について、 $$\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}\quad(\text{自由度 } n-1 \text{ の } \chi^2 \text{ 分布})$$ 分子は偏差平方和 $\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2$ そのもの（$=(n-1)s^2$）です。自由度が $n-1$ なのは、$t$ のときと同じく $\bar{X}$ を使った分を1つ引くからです。

$$ \begin{aligned} P\!\left(\chi^2_{1-\alpha/2,\,n-1} \le \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \le \chi^2_{\alpha/2,\,n-1}\right) &= 1-\alpha &&\text{(中央を2点ではさむ)}\\[4pt] P\!\left(\frac{\chi^2_{1-\alpha/2,\,n-1}}{(n-1)s^2} \le \frac{1}{\sigma^2} \le \frac{\chi^2_{\alpha/2,\,n-1}}{(n-1)s^2}\right) &= 1-\alpha &&\text{(各辺を } (n-1)s^2 \text{ で割る)}\\[4pt] P\!\left(\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2,\,n-1}} \le \sigma^2 \le \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\,n-1}}\right) &= 1-\alpha &&\text{(逆数をとり不等号を反転)} \end{aligned} $$

母分散 $\sigma^2$ の信頼係数 $1-\alpha$ の信頼区間 $$\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2,\,n-1}}\ \le\ \sigma^2\ \le\ \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\,n-1}}$$ 母標準偏差 $\sigma$ の区間がほしければ、両端の平方根をとります。$\chi^2$ が非対称なので、この区間は $s^2$ を中心とした左右対称にはなりません。

$n$ が十分大きいとき、標本比率 $\hat{p}$ は近似的に $$\hat{p} \approx N\!\left(p,\ \frac{p(1-p)}{n}\right)$$ に従います。期待値は母比率 $p$、分散は $\dfrac{p(1-p)}{n}$。標準誤差は $\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$ です。

$$ \begin{aligned} Z &= \frac{\hat{p}-p}{\sqrt{p(1-p)/n}} \approx N(0,1) &&\text{(標準化、正規近似)}\\[4pt] P\!\left(-z_{\alpha/2} \le \frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}} \le z_{\alpha/2}\right) &\approx 1-\alpha &&\text{(分母の } p \text{ を } \hat{p} \text{ で代用)}\\[4pt] P\!\left(\hat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\tfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p}+z_{\alpha/2}\sqrt{\tfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right) &\approx 1-\alpha &&\text{(} p \text{ について解く)} \end{aligned} $$

母比率 $p$ の信頼係数 $1-\alpha$ の信頼区間（大標本・正規近似） $$\hat{p}\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$ 母平均（分散既知）の $\bar{X}\pm z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ と同じ形。標準偏差 $\sigma$ の役割を $\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})}$ が担っています。

この近似が使えるのは標本が大きいときだけです。目安として、$n\hat{p}$ と $n(1-\hat{p})$ がともに $5$（厳しめなら $10$）以上であることが、二項分布を正規で近似できる条件の目安です。サンプルが小さすぎたり、$\hat{p}$ が $0$ や $1$ に極端に近いときは、この公式は精度が落ちます。

試験で押さえるべき2つの落とし穴──(1) 母分散の区間は $\chi^2$ が非対称なので、区間の下端・上端で確率点が入れ替わる（$s^2$ が中心に来ない）。(2) 母比率の正規近似は大標本でのみ有効（$n\hat{p}$ と $n(1-\hat{p})$ が十分大きいか確認）。この2点を意識すれば、計算ミスはぐっと減ります。