代表値（平均・中央値・最頻値）

1. 算術平均 ─ もっとも基本の代表値

算術平均（単に平均とも）は、すべての値を足してデータ数で割った値です。データを $x_1, x_2, \dots, x_n$ とすると、平均 $\bar{x}$ は次のように書けます。

たとえば5人のテスト点数が $70, 80, 90, 60, 50$ のとき、$\bar{x} = \dfrac{70+80+90+60+50}{5} = \dfrac{350}{5} = 70$（点）となります。

度数分布表からの平均

生のデータがなく度数分布表しかないときは、各階級の代表として階級値を使い、「階級値 × 度数」を足し合わせて総数で割ります。階級値を $x_i$、度数を $f_i$ とすると次のとおりです。

実際にやってみましょう。1-2 で作った40人のテスト点数の度数分布表を、もう一度ここに載せます。今回は計算用に「階級値 × 度数」の列を右端に足してあります。

右端の列を合計すると $\sum f_i x_i = 2690$。これを総数 $n = 40$ で割って、$\bar{x} = \dfrac{2690}{40} = 67.25$（点）が度数分布表からの平均です。生データが手もとになくても、階級値を各階級の代表と見なすことで平均が近似できるわけです。

平均のうれしい性質は、すべてのデータを計算に使うため情報のロスが少なく、数式でも扱いやすいことです。次の章以降で学ぶ分散や期待値も、この平均が土台になります。

2. 中央値 ─ 真ん中に立つ値

中央値（メジアン）は、データを小さい順に並べたときにちょうど真ん中に来る値です。記号では $\tilde{x}$ などと書きます。データ数 $n$ が奇数か偶数かで求め方が少し変わります。

中央値は「順番」だけで決まり、足し算も割り算もほとんど使いません。だから前回学んだ順序尺度のデータにも使えますし、何より極端な値の影響をほとんど受けないのが大きな強みです。

3. 最頻値 ─ いちばん多く現れる値

最頻値（モード）は、もっとも多く現れる値、つまり度数が最大の値です。度数分布表なら、いちばん度数の大きい階級（の階級値）が最頻値になります。

$2, 3, 3, 3, 4, 5, 6$ では、$3$ が3回でいちばん多いので最頻値は $3$。さきほど再掲した40人の度数分布表なら、度数が最大（12人）の「60以上 70未満」が最頻の階級で、その階級値 $65$ を最頻値とします。

最頻値は、数値ではない名義尺度のデータにも使える唯一の代表値です。「いちばん人気の色は？」「もっとも売れたサイズは？」のような問いには、平均でも中央値でもなく最頻値が答えになります。

一方、連続データではまったく同じ値が複数出ることが少ないため、階級にまとめてから考えるのがふつうです。3つの代表値の覚え方はカンタンです。

平均は「ぜんぶ足して山分け」、中央値は「並べて真ん中」、最頻値は「いちばん人気者」。アンケートの「好きな色」のように数字ではないデータでは、最頻値しか出番がありません。

4. 外れ値への頑健性 ─ 平均の弱点

3つの代表値の決定的な違いは、極端な値（外れ値）にどれだけ振り回されるかです。お金持ちが1人まざっただけで、平均はビヨーンと引っぱられてしまいます。具体例で見てみましょう。ある部署の7人の月収（万円）が次のようだったとします。

月収データ：$32, 35, 36, 38, 40, 42, 150$（単位：万円）。平均 $\bar{x} = \dfrac{32+35+36+38+40+42+150}{7} = \dfrac{373}{7} \approx 53.3$ 万円、中央値 $\tilde{x} = 38$ 万円（4番目の値）です。

7人のうち6人は30万円台〜40万円台なのに、平均は約53万円。たった1人の高収入（150万円）が平均をぐっと引き上げています。一方、中央値は38万円のまま動じません。

このように、平均はすべての値を計算に使うがゆえに、極端な値があるとそちらへ引っぱられます。逆に中央値は「順番の真ん中」しか見ないので、端の値がどれだけ大きくても（小さくても）びくともしません。

この「外れ値に強い」性質を頑健性（ロバストネス）と呼びます。頑健性が高い順に、おおむね中央値・最頻値 ＞ 平均です。

年収・地価・売上のように一部に飛び離れた値が混じりやすいデータでは、平均だけ示すと実感とズレた印象を与えがち。中央値も併せて報告するのが誠実なやり方です。

5. 歪んだ分布での3者の位置関係

分布が左右対称なら、平均・中央値・最頻値はほぼ同じ位置に重なります。ところが分布が歪むと、3つはズレて並びます。この並び順が2級でよく問われます。

考え方はシンプルです。最頻値は山の頂点、平均は裾に引っぱられる、中央値はその中間に位置します。だから、

• 右に歪んだ分布（裾が右）：最頻値 ＜ 中央値 ＜ 平均
• 左に歪んだ分布（裾が左）：平均 ＜ 中央値 ＜ 最頻値
• 左右対称：3つはほぼ一致

覚え方は平均は裾の方へ逃げる。裾が伸びている側に平均がいちばん近づき、最頻値はいちばん遠い山のてっぺん、中央値はその間です。これさえ押さえれば、グラフを見ただけで3者の並び順が即答できます。

次回 1-4 散らばりの指標 では、「データがどれくらいバラついているか」を測る分散・標準偏差・四分位範囲を学びます。代表値が「中心」を表すなら、散らばりは「広がり」を表す、もう一つの主役です。

さえ

「平均は裾の方へ逃げる」──このひと言で、3者の並び順は怖くないよ。グラフの裾を見て、その近くに平均、てっぺんに最頻値、間に中央値。指でなぞって確認してみてね！